Kaip išspręsti kvadratinės šaknies lygtį

Kvadratinė skaičiaus šaknis yra reikšmė, kurią padauginus iš jos gaunamas pradinis skaičius. Pavyzdžiui, kvadratinė šaknis 0 yra 0, kvadratinė šaknis 100 yra 10 ir kvadratinė šaknis 50 yra 7,071. Kartais galite išsiaiškinti arba paprasčiausiai prisiminti kvadratinę šaknies skaičių, kuris pats yra „tobulas kvadratas“, kuris yra sveiko skaičiaus, padauginto iš jo, sandauga; progresuodamas studijose, greičiausiai susidarysite šių skaičių sąrašą (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Kvadratinių šaknų problemos yra būtinos inžinerijoje, skaičiavimuose ir praktiškai kiekvienoje šiuolaikinio pasaulio srityje. Nors internete galite lengvai rasti kvadratinės šaknies lygčių skaičiuokles (žr. Pavyzdžių išteklius), kvadratinės šaknies lygčių sprendimas yra svarbus algebros įgūdžiai, nes tai leidžia susipažinti su radikalų naudojimu ir dirbti su daugybe problemų, esančių už kvadratinių šaknų srities per se.

Tai, kad padauginus du neigiamus skaičius kartu gaunamas teigiamas skaičius, yra svarbus kvadratinių šaknų pasaulyje, nes tai reiškia kad teigiami skaičiai iš tikrųjų turi dvi kvadratines šaknis (pavyzdžiui, 16 kvadratinės šaknys yra 4 ir −4, net jei pirmoji yra intuityvi). Panašiai neigiami skaičiai neturi tikrųjų kvadratinių šaknų, nes nėra realaus skaičiaus, kuris gautų neigiamą vertę, padauginus iš jo paties. Šiame pristatyme neigiama teigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis bus ignoruojama, todėl „kvadratinę 361 šaknį“ galima laikyti „19“, o ne „−19 ir 19.“

Be to, bandant įvertinti kvadratinės šaknies vertę, kai nė vienas skaičiuotuvas nėra patogus, svarbu suvokti, kad funkcijos, susijusios su kvadratais ir kvadratinėmis šaknimis, nėra tiesinės. Vėliau apie tai pamatysite skiltyje apie grafikus, tačiau kaip apytikslį pavyzdį jau pastebėjote, kad kvadratinė šaknis 100 yra 10, o kvadratinė šaknis 0 yra 0. Matant, tai gali paskatinti spėti, kad 50 kvadratinė šaknis (kuri yra pusiaukelėje tarp 0 ir 100) turi būti 5 (tai yra pusiaukelėje tarp 0 ir 10). Bet jūs taip pat jau sužinojote, kad kvadratinė 50 šaknis yra 7,071.

Galiausiai, jūs galbūt įtvirtinote idėją, kad padauginus du skaičius kartu gaunamas skaičius didesnis už save, o tai reiškia, kad kvadratinės skaičių šaknys visada yra mažesnės už originalą numeris. Tai nėra tas atvejis! Skaičiai nuo 0 iki 1 taip pat turi kvadratines šaknis, ir kiekvienu atveju kvadratinė šaknis yra didesnė už pradinį skaičių. Tai lengviausia parodyti naudojant trupmenas. Pvz., 16/25 arba 0,64 yra puikus kvadratas tiek skaitiklyje, tiek vardiklyje. Tai reiškia, kad kvadratinė trupmenos šaknis yra jos viršutinių ir apatinių komponentų kvadratinė šaknis, kuri yra 4/5. Tai lygi 0,80, didesnis skaičius nei 0,64.

"Kvadratinė šaknisx"paprastai rašoma naudojant vadinamąjį radikalųjį ženklą arba tiesiog radikalą (√). Taigi bet kuriamx​:

reiškia jo kvadratinę šaknį. Apversdamas tai, skaičiaus kvadratasxparašyta naudojant 2 laipsnio rodiklį (x​²). Eksponentai perima teksto apdorojimo ir susijusių programų viršutinius indeksus, jie taip pat vadinami įgaliojimais. Kadangi radikalius ženklus ne visada lengva pagaminti pagal pareikalavimą, tai yra dar vienas būdas parašyti „kvadratinę šaknį“x"yra naudoti rodiklį:

Tai savo ruožtu yra bendros schemos dalis:

reiškia „pakeltixį valdžiąy, tada paimkitez„jo šaknis“.x​^1/2 taigi reiškia „pakeltixį pirmąją valdžią, kuri yra tiesiogxdar kartą ir tada paimkite 2 šaknis arba kvadratinę šaknį. "Išplėsdami tai,x​^(5/3) reiškia „pakeltixiki 5 galios, tada suraskite trečiąją rezultato šaknį (arba kubo šaknį). "

Radikalai gali būti naudojami atvaizduoti kitas nei kvadratinę šaknis. Tai daroma tiesiog pridedant viršutinį kairįjį radikalo viršutinį indeksą.

tada reiškia tą patį skaičių kaipx​^(5/3) iš ankstesnės pastraipos daro.

Dauguma kvadratinių šaknų yra iracionalūs skaičiai. Tai reiškia, kad jie ne tik nėra gražūs, tvarkingi sveikieji skaičiai (pvz., 1, 2, 3, 4.. .), tačiau jie taip pat negali būti išreikšti tvarkingu dešimtainiu skaičiumi, kuris baigiasi be apvalinimo. Racionalų skaičių galima išreikšti trupmena. Taigi, nors 2,75 nėra sveikasis skaičius, jis yra racionalus skaičius, nes tai yra tas pats, kas trupmena 11/4. Jums anksčiau buvo pasakyta, kad kvadratinė 50 šaknies šaknis yra 7,071, bet tai iš tikrųjų suapvalinta nuo begalinio skaičiaus dešimtųjų. Tiksli √50 reikšmė yra 5√2, ir netrukus pamatysite, kaip tai bus nustatyta.

Jūs jau matėte, kad kvadratų ir kvadratinių šaknų įtraukimo lygtys yra netiesinės. Vienas paprastas būdas tai atsiminti yra tas, kad šių lygčių sprendimų grafikai nėra tiesės. Tai prasminga, nes jei, kaip pažymėta, kvadratas 0 yra 0 ir 10 kvadratas yra 100, bet kvadratas iš 5 nėra 50, grafikas, gautas paprasčiausiai kvadratą išpainiojus, turi kreivėti kelią į teisingą vertybes.

Tai yra grafiko

kaip galite įsitikinti patys, apsilankę skaičiuoklėje „Resursai“ ir pakeisdami parametrus. Tiesė eina per tašką (0,0), o y nenusileidžia žemiau 0, ko turėtumėte tikėtis, nes tai žinotex​² niekada nėra neigiamas. Taip pat galite pamatyti, kad diagrama yra simetriška aplinky-ašis, kuris taip pat yra prasmingas, nes kiekvieną teigiamą tam tikro skaičiaus kvadratinę šaknį lydi neigiamas kvadratinis šaknis vienodo dydžio. Todėl, išskyrus 0, kiekvienasyvertė grafikey​ = ​x​² yra susijęs su dviemx-verts.

Vienas iš būdų spręsti pagrindines kvadratinių šaknų problemas yra ieškoti tobulų kvadratų, „paslėptų“ problemos viduje. Pirma, svarbu žinoti keletą svarbių kvadratų ir kvadratinių šaknų savybių. Vienas iš jų yra tas pats, kaip ir √x​² yra tiesiog lygusx(nes radikalas ir eksponentas panaikina vienas kitą):

Tai yra, jei turite tobulą kvadratą po radikalu, padauginusį kitą skaičių, galite jį „ištraukti“ ir naudoti kaip likusio koeficientą. Pavyzdžiui, grįžtant prie kvadratinės šaknies iš 50

Kartais galite baigti skaičių, kuriame yra kvadratinės šaknys, kuris išreiškiamas dalimi, bet vis tiek yra iracionalus skaičius, nes vardiklyje, skaitiklyje ar abiejuose yra radikalas. Tokiais atvejais jūsų gali paprašyti racionalizuoti vardiklį. Pavyzdžiui, skaičius

turi radikalą tiek skaitiklyje, tiek vardiklyje. Bet išnagrinėję „45“, galite jį atpažinti kaip 9 ir 5 sandaugą, o tai reiškia

Todėl trupmeną galima užrašyti

Radikalai panaikina vienas kitą, o jums lieka 6/3 = 2.