Plokštumos trimatėje erdvėje lygtį algebrine žyme galima užrašyti kaip ax + pagal + cz = d, kur bent vienas iš tikrojo skaičiaus konstantos „a“, „b“ ir „c“ neturi būti lygios nuliui, o „x“, „y“ ir „z“ reiškia trimačių ašis lėktuvas. Jei pateikiami trys taškai, galite nustatyti plokštumą naudodami vektorinius kryžmines sandaugas. Vektorius yra linija erdvėje. Kryžminis produktas yra dviejų vektorių dauginimas.
Gaukite tris taškus lėktuve. Pažymėkite juos „A“, „B“ ir „C.“ Pavyzdžiui, tarkime, kad šie taškai yra A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); ir C = (1, 3, 4).
Plokštumoje raskite du skirtingus vektorius. Pavyzdyje pasirinkite vektorius AB ir AC. Vektorius AB eina iš taško A į tašką B, o vektorius AC eina iš taško A į tašką C. Taigi atimkite kiekvieną taško A koordinatą iš kiekvienos taško B koordinatės, kad gautumėte vektorių AB: (-2, 3, 1). Panašiai vektorius AC yra taškas-C, atėmus tašką A arba (-2, 2, 3).
Apskaičiuokite dviejų vektorių kryžminį sandaugą, kad gautumėte naują vektorių, kuris yra normalus (arba statmenas arba stačias) kiekvienam iš dviejų vektorių, taip pat plokštumai. Dviejų vektorių (a1, a2, a3) ir (b1, b2, b3) kryžminį sandaugą pateikia N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). Pavyzdyje AB ir AC kryžminis produktas N yra i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], o tai supaprastina iki N = 7i + 4j + 2k. Atkreipkite dėmesį, kad „i“, „j“ ir „k“ naudojami vektorinėms koordinatėms vaizduoti.
Išveskite plokštumos lygtį. Plokštumos lygtis yra Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, kur (a1, a2, a3) yra bet kuris plokštumos taškas ir (Ni, Nj, Nk ) yra normalus vektorius, N. Pavyzdyje, naudojant tašką C, kuris yra (1, 3, 4), plokštumos lygtis yra 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, o tai paprasčiau 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0, arba 7x + 4y + 2z = 27.
Patikrinkite savo atsakymą. Pakeiskite pradinius taškus, kad pamatytumėte, ar jie atitinka plokštumos lygtį. Pabaigoje, jei pakeisite bet kurį iš trijų taškų, pamatysite, kad plokštumos lygtis iš tikrųjų yra patenkinta.
Patarimai
Žr. Šaltinius, kuriuose rasite patarimų, kaip naudoti trijų vienu metu esančių lygčių sistemas, kad surastumėte plokštumos lygtį.