Absoliutinės vertės nelygybės sprendimas yra panašus į absoliučios vertės lygčių sprendimą, tačiau reikia nepamiršti kelių papildomų detalių. Tai jau padeda patogiai spręsti absoliučios vertės lygtis, bet gerai, jei mokotės jų kartu!
Absoliutiosios vertės nelygybės apibrėžimas
Visų pirmaabsoliučios vertės nelygybėyra nelygybė, apimanti absoliučią vertybės išraišką. Pavyzdžiui,
| 5 + x | - 10> 6
yra absoliuti vertės nelygybė, nes ji turi nelygybės ženklą,> ir absoliučios vertės išraišką | 5 +x |.
Kaip išspręsti absoliučią vertės nelygybę
absoliučios vertės nelygybės sprendimo žingsniaiyra panašūs į absoliučios vertės lygties sprendimo žingsnius:
1 žingsnis:Išskirkite absoliučios vertės išraišką vienoje nelygybės pusėje.
2 žingsnis:Išspręskite teigiamą nelygybės „versiją“.
3 žingsnis:Išspręskite neigiamą nelygybės „versiją“, padauginę kitoje nelygybės pusėje esantį kiekį iš −1 ir apversdami nelygybės ženklą.
To reikia imtis iš karto daug, todėl pateikiame pavyzdį, kuris padės jums atlikti veiksmus.
Išspręskite nelygybęx:
| 5 + 5x | - 3> 2
Norėdami tai padaryti, gaukite | 5 + 5x| pati kairėje nelygybės pusėje. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai pridėti 3 kiekvienoje pusėje:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Dabar yra dvi nelygybės, kurią turime išspręsti, „versijos“: teigiama „versija“ ir neigiama „versija“.
Atlikdami šį veiksmą, manysime, kad viskas yra taip, kaip atrodo: tas 5 + 5x > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5
Tai yra paprasta nelygybė; jūs tiesiog turite išspręstixkaip visada. Iš abiejų pusių atimkite 5, tada padalykite abi puses iš 5.
\ begin {aligned} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5 - 5 \ quad \ text {(atimkite penkis iš abiejų pusių)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(padalykite abi puses iš penkių)} \\ & x> 0 \ pabaiga {lygiuota}
Neblogai! Taigi vienas galimas mūsų nelygybės sprendimas yra tasx> 0. Kadangi yra absoliučios vertės, laikas apsvarstyti kitą galimybę.
Norėdami suprasti šį kitą dalyką, tai padeda prisiminti, ką reiškia absoliuti vertė.Absoliučioji vertėmatuoja skaičiaus atstumą nuo nulio. Atstumas visada yra teigiamas, taigi 9 yra devyni vienetai nuo nulio, bet −9 taip pat yra devyni vienetai nuo nulio.
Taigi | 9 | = 9, bet | −9 | = 9 taip pat.
Dabar grįžkime prie aukščiau pateiktos problemos. Aukščiau pateiktas darbas parodė, kad | 5 + 5x| > 5; kitaip tariant, absoliuti „kažko“ vertė yra didesnė nei penkios. Bet kuris didesnis nei penki teigiamas skaičius bus toliau nuo nulio, nei yra penki. Taigi pirmasis variantas buvo tas „kažkas“, 5 + 5x, yra didesnis nei 5.
Tai yra:
5 + 5x> 5
Tai scenarijus, aptartas aukščiau, 2 žingsnyje.
Dabar pagalvokite šiek tiek toliau. Kas dar yra penki vienetai nuo nulio? Na, neigiamas penki yra. Ir viskas, kas yra toliau nuo neigiamo penketo skaičių tiesėje, bus dar toliau nuo nulio. Taigi mūsų „kažkas“ gali būti neigiamas skaičius, nutolęs nuo nulio, o ne neigiamas penki. Tai reiškia, kad tai būtų didesnis skambesys, bet techniškaimažiau neineigiamas penketas, nes jis skaičiaus tiesėje juda neigiama kryptimi.
Taigi mūsų „kažkas“, 5 + 5x, gali būti mažesnis nei −5.
5 + 5x
Greitas būdas tai padaryti algebriškai yra padauginti kitoje nelygybės pusėje esantį kiekį 5 iš neigiamo, tada apversti nelygybės ženklą:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
Tada spręskite kaip įprasta.
\ begin {aligned} & 5 + 5x
Taigi du galimi nelygybės sprendimai yrax> 0 arbax< −2. Patikrinkite save, prijungdami kelis galimus sprendimus, kad įsitikintumėte, jog nelygybė vis dar išlieka.
Absoliuti vertės nelygybė be sprendimo
Yra scenarijus, kur būtųnėra absoliučios vertės nelygybės sprendimų. Kadangi absoliučios vertės visada yra teigiamos, jos negali būti lygios ar mažesnės už neigiamus skaičius.
Taigi |x| jokio sprendimones absoliučios vertės išraiškos rezultatas turi būti teigiamas.
Intervalo žymėjimas
Parašyti pagrindinio mūsų pavyzdžio sprendimąintervalų žymėjimas, pagalvokite, kaip sprendimas atrodo skaičių eilutėje. Mūsų sprendimas buvox> 0 arbax< −2. Skaičių eilutėje tai yra atviras taškas ties 0, o linija tęsiasi iki teigiamos begalybės, o atviras taškas - −2, o linija tęsiasi iki neigiamos begalybės. Šie sprendimai nukreipti vienas nuo kito, o ne vienas į kitą, todėl paimkite kiekvieną kūrinį atskirai.
Jei x> 0 skaičių eilutėje, ties nuliu yra atviras taškas, o tada tiesė tęsiasi iki begalybės. Intervalų žymėjime atviras taškas pavaizduotas skliaustuose (), o uždaras taškas arba nelygybės su ≥ arba ≤ būtų naudojami skliaustuose, [] Taigi užx> 0, parašykite (0, ∞).
Kita pusėx
„Arba“ intervalų žymėjime yra sąjungos ženklas, ∪.
Taigi intervalų žymėjimo sprendimas yra
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)