Visi matematikos studentai ir daugelis gamtos mokslų studentų tam tikru studijų etapu susiduria su daugianariais, tačiau, laimei, su jais lengva susidoroti išmokus pagrindus. Pagrindinės operacijos, kurias turėsite atlikti su daugianario išraiška, yra sudėjimas, atimimas, dauginimas ir dalijimasis, ir nors dalijimas gali būti sudėtingas, dažniausiai galėsite susitvarkyti su pagrindais lengvumas.
Polinomai: apibrėžimas ir pavyzdžiai
Polinomas apibūdina algebrinę išraišką, kurioje yra vienas ar daugiau terminų, apimančių kintamąjį (arba daugiau nei vieną), su rodikliais ir galbūt konstantomis. Jie negali apimti dalijimo pagal kintamąjį, negali turėti neigiamų ar trupmeninių rodiklių ir turi turėti ribotą skaičių terminų.
Šiame pavyzdyje parodytas daugianaris:
x ^ 3 + 2 x ^ 2 - 9 x - 4
Tai rodo dar vieną:
xy ^ 2 - 3 x + y
Yra daugybė polinomų klasifikavimo būdų, įskaitant laipsnį (eksponentų suma pagal didžiausią galios terminą, pvz., 3 pirmasis pavyzdys) ir pagal jose esančių terminų skaičių, pvz., monomialus (vienas terminas), binomialus (du terminai) ir trinomalus (trys terminai).
Polinomų pridėjimas ir atėmimas
Polinomų pridėjimas ir atėmimas priklauso nuo terminų „panašūs“ sujungimo. Panašus terminas yra tas pats, kurio kintamieji ir rodikliai yra tokie patys kaip kito, tačiau skaičius, padaugintas iš jų (koeficientas), gali būti skirtingas. Pavyzdžiui,x2 ir 4x 2 yra kaip terminai, nes jie turi tą patį kintamąjį ir rodiklį, ir 2xy 4 ir 6xy 4 taip pat yra terminai. Tačiaux2, x3, x2y2 iry2 nėra panašūs į terminus, nes kiekviename jų yra skirtingi kintamųjų ir rodiklių deriniai.
Pridėkite daugianarių, derindami panašius terminus taip pat, kaip ir su kitais algebriniais terminais. Pavyzdžiui, pažvelkite į problemą:
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + y)
Surinkite panašias sąlygas, kad gautumėte:
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + y
Tada įvertinkite paprasčiausiai sudėję koeficientus ir sujungdami į vieną terminą:
10 x ^ 3 + 5 x + y
Atkreipkite dėmesį, kad jūs negalite nieko padarytiynes neturi panašaus termino.
Atimtis veikia taip pat:
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y) - (2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
Pirmiausia atkreipkite dėmesį, kad visi dešiniojo skliaustelio terminai atimami iš kairiajame skliauste esančių terminų, todėl parašykite taip:
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y - 2 x ^ 4 - 2 y ^ 2- y
Sujunkite panašius terminus ir įvertinkite, kad gautumėte:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
Dėl tokios problemos:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2)
Atkreipkite dėmesį, kad minuso ženklas taikomas visai išraiškai dešiniajame skliauste, taigi du neigiami ženklai prieš 3x2 tapti papildymo ženklu:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2 - 6 xy + 3 x ^ 2
Tada apskaičiuokite kaip anksčiau.
Dauginant daugianario išraiškas
Padauginkite daugianario išraiškas naudodami skirstomąją daugybos savybę. Trumpai tariant, kiekvieną pirmojo polinomo terminą padauginkite iš kiekvieno antrojo termino. Pažvelkite į šį paprastą pavyzdį:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
Tai išspręskite naudodamiesi distributive ypatybe, todėl:
\ pradžia {lygiuota} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y)
Lygiai taip pat spręskite sudėtingesnes problemas:
\ pradėti {lygiuoti} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 x ^ 2 + 2 x)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ end {aligned}
Didesnėms grupėms šios problemos gali komplikuotis, tačiau pagrindinis procesas vis tiek yra tas pats.
Daugianario išraiškų padalijimas
Polinominių išraiškų padalijimas užtrunka ilgiau, tačiau galite tai išspręsti pakopomis. Pažvelkite į išraišką:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
Pirmiausia parašykite išraišką kaip ilgą dalybą su dalikliu kairėje ir dividendu dešinėje:
x + 2) \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10}
Padalinkite pirmąjį dividendų terminą iš pirmojo daliklio termino ir uždėkite rezultatą ant eilutės virš padalijimo. Tokiu atveju,x2 ÷ x = x, taigi:
\ begin {aligned} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \ end {aligned}
Padauginkite šį rezultatą iš viso daliklio, taigi šiuo atveju (x + 2) × x = x2 + 2 x. Padėkite šį rezultatą žemiau padalijimo:
\ begin {aligned} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ end {aligned}
Atimkite naujos eilutės rezultatą iš tiesiai virš jo esančių terminų (atkreipkite dėmesį, kad techniškai jūs pakeisite ženklą, taigi, jei turėtumėte neigiamą rezultatą, jį pridėtumėte), ir įdėkite jį į eilutę po ja. Perkelkite galutinį terminą nuo pradinio dividendo taip pat žemyn.
\ begin {aligned} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {aligned}
Dabar pakartokite procesą su dalikliu ir nauju polinomu apatinėje eilutėje. Taigi padalykite pirmąjį daliklio terminą (x) iki pirmojo dividendų termino (−5x) ir pateikite tai aukščiau:
\ begin {aligned} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {aligned}
Padauginkite šį rezultatą (−5x ÷ x= −5) pradiniu dalikliu (taigi (x + 2) × −5 = −5 x−10) ir įdėkite rezultatą į naują apatinę eilutę:
\ begin {aligned} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ pabaiga {lygiuota}
Tada atimkite apatinę eilutę iš kitos į viršų (taigi šiuo atveju pakeiskite ženklą ir pridėkite), o rezultatą įdėkite į naują apatinę eilutę:
\ begin {aligned} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {aligned}
Kadangi dabar apačioje yra nulių eilutė, procesas baigtas. Jei liktų ne nuliniai terminai, procesą pakartotumėte dar kartą. Rezultatas yra viršutinėje eilutėje, taigi:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
Šį padalijimą ir kai kuriuos kitus galima paprasčiau išspręsti, jei galite faktorius daugianaris dividende.