Realiųjų skaičių aibę sudaro visi skaičių eilutėje esantys skaičiai. Pogrupiai gali apimti bet kokį skaičių rinkinį, tačiau svarbaus pogrupio elementai turėtų turėti bent keletą bendrų savybių. Dauguma šių pogrupių yra naudingi tik atliekant konkrečius skaičiavimus, tačiau yra keli, kurie turi įdomių savybių ir padeda suprasti, kaip veikia tikroji skaičių sistema.
TL; DR (per ilgai; Neskaiciau)
Svarbiausi realiųjų skaičių aibės pogrupiai apima racionaliuosius ir iracionaliuosius skaičius. Racionaliųjų skaičių rinkinį galima suskirstyti į kitus pogrupius, įskaitant natūralius skaičius, sveikus skaičius ir sveikus skaičius. Kiti realiųjų skaičių pogrupiai yra lyginiai ir nelyginiai skaičiai, pirminiai skaičiai ir tobulieji skaičiai. Iš viso yra begalinis realiųjų skaičių pogrupių skaičius.
Realiųjų skaičių pogrupiai apskritai
Bet kuriam rinkiniui, kuriame yra n elementų, pogrupių skaičius yra 2n. Tikrųjų skaičių aibėje yra begalinis elementų skaičius, todėl atitinkamas 2 eksponentas taip pat yra begalinis, suteikiantis begalinį skaičių pogrupių.
Daugelį šių pogrupių galima naudoti dirbant su realiųjų skaičių sistema ir atliekant skaičiavimus, tačiau jie naudingi tik konkretiems tikslams. Pavyzdžiui, norint apskaičiuoti kelių picų kainą draugams, gali būti įdomus tik skaičių pogrupis nuo dešimties iki šimto. Lauko termometras gali rodyti tik pogrupį nuo minus 40 iki plius 120 laipsnių pagal Celsijų. Darbas su tokiais pogrupiais yra naudingas, nes bet koks rezultatas, kuris nėra numatyto pogrupio tikriausiai neteisingas.
Bendresni realiųjų skaičių pogrupiai skirsto skaičius pagal jų charakteristikas, todėl šie pogrupiai turi unikalių savybių. Tikrųjų skaičių sistema išsivystė iš pogrupių, tokių kaip natūralūs skaičiai, kurie naudojami skaičiuojant, ir tokie pogrupiai yra pagrindas suprasti algebrą.
Tikrųjų skaičių sudarantys pogrupiai
Realiųjų skaičių aibę sudaro racionalieji ir iracionalieji skaičiai. Racionalieji skaičiai yra sveiki skaičiai ir skaičiai, kuriuos galima išreikšti trupmena. Visi kiti realieji skaičiai yra neracionalūs, ir jie apima tokius skaičius kaip kvadratinė šaknis 2 ir skaičius pi. Kadangi iracionalieji skaičiai apibrėžiami kaip realiųjų skaičių pogrupis, visi iracionalieji skaičiai turi būti tikrieji skaičiai.
Racionalius skaičius galima suskirstyti į papildomus pogrupius. Natūralūs skaičiai yra skaičiai, kurie istoriškai buvo naudojami skaičiuojant, ir jie yra seka 1, 2, 3 ir kt. Sveiki skaičiai yra natūralūs skaičiai plius nulis. Sveikieji skaičiai yra sveiki skaičiai plius neigiami natūralieji skaičiai.
Kiti racionaliųjų skaičių pogrupiai apima tokias sąvokas kaip lyginiai, nelyginiai, pirminiai ir tobulieji skaičiai. Lyginiai skaičiai yra sveiki skaičiai, kurių koeficientas yra 2; nelyginiai skaičiai yra visi kiti skaičiai. Pirminiai skaičiai yra sveiki skaičiai, kurių veiksniai yra tik jie patys ir 1. Tobuli skaičiai yra sveiki skaičiai, kurių veiksniai pridedami prie skaičiaus. Mažiausias tobulas skaičius yra 6, o jo koeficientai 1, 2 ir 3 sudaro 6.
Apskritai skaičiavimai, atliekami tikraisiais skaičiais, suteikia atsakymus į tikrąjį skaičių, tačiau yra išimtis. Nėra realaus skaičiaus, kurį padauginus iš jo paties atsakymas būtų neigiamas. Todėl neigiamo tikrojo skaičiaus kvadratinė šaknis negali būti tikrasis skaičius. Neigiamų realiųjų skaičių kvadratinės šaknys vadinamos įsivaizduojamaisiais skaičiais, ir jie yra skaičių rinkinio elementai, visiškai atskirti nuo tikrųjų skaičių.
Tikrųjų skaičių pogrupių tyrimas yra skaičių teorijos dalis ir jis klasifikuoja skaičius, kad būtų lengviau suprasti, kaip veikia skaičių teorija. Susipažinimas su realių skaičių pogrupiais ir jų savybėmis yra geras pagrindas tolesniems matematikos tyrimams.
