Geriausias polinomų su trupmenomis faktorius pradedamas skaičiuojant trupmenas iki paprastesnių terminų. Polinomai rodo algebrines išraiškas su dviem ar daugiau terminų, tiksliau, kelių terminų, turinčių skirtingas to paties kintamojo išraiškas, suma. Strategijos, padedančios supaprastinti polinomus, apima didžiausio bendro veiksnio išskyrimą, o po to grupuoja lygtį į žemiausias jos sąlygas. Tas pats pasakytina net ir sprendžiant polinomus su trupmenomis.
Polinomai su apibrėžtomis trupmenomis
Turite tris būdus, kaip peržiūrėti frazę polinomai su trupmenomis. Pirmasis aiškinimas skirtas daugiančiams su koeficientų dalimis. Algebroje koeficientas apibrėžiamas kaip skaičių dydis arba konstanta, nustatyta prieš kintamąjį. Kitaip tariant, koeficientai 7_a_, b ir (1/3)c yra atitinkamai 7, 1 ir (1/3). Todėl du polinomų su trupmenos koeficientais pavyzdžiai būtų:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 \ text {ir} x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8}
Antrasis „polinomų su trupmenomis“ aiškinimas reiškia polinomus, esančius dalimis arba santykiu forma su skaitikliu ir vardikliu, kur skaitiklio polinomas padalintas iš vardiklio daugianario. Pavyzdžiui, šį antrąjį aiškinimą iliustruoja:
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
Tuo tarpu trečiasis aiškinimas susijęs su daliniu frakcijos skaidymu, dar vadinamu daliniu frakcijos išsiplėtimu. Kartais daugianario trupmenos yra sudėtingos, todėl jas „suskaidžius“ arba „suskaidžius“ paprastesni terminai, jie pateikiami kaip sumos, skirtumai, sandaugos arba daugianario daliniai trupmenos. Norėdami iliustruoti, sudėtinga daugianario dalis:
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2}
yra vertinamas dalinio skaidymo skaidymu, kuris, beje, apima polinomų faktorizavimą paprasčiausia forma:
\ bigg (\ frac {3} {x + 2} \ bigg) + \ bigg (\ frac {5} {x-1} \ bigg)
Faktoringo pagrindai - paskirstomoji nuosavybė ir folijos metodas
Veiksniai nurodo du skaičius, kurie, padauginus išvien, yra lygūs trečiam skaičiui. Algebrinėse lygtyse faktoringas nustato, kokie du dydžiai buvo padauginti kartu, kad gautų duotą polinomą. Dauginant daugianarius, labai laikomasi paskirstomosios savybės. Paskirstymo savybė iš esmės leidžia padauginti sumą, padauginant kiekvieną skaičių atskirai prieš pridedant produktus. Pavyzdžiui, atkreipkite dėmesį į tai, kaip paskirstomoji ypatybė taikoma:
7 (10x + 5) \ text {, kad gautumėte binomą 70x + 35.
Bet jei du binomi padauginami kartu, naudojant FOIL metodą naudojama išplėstinė paskirstomosios savybės versija. FOIL reiškia pirmojo, išorinio, vidinio ir paskutinio dauginamų terminų santrumpą. Vadinasi, faktoringo polinomai reiškia FOIL metodo atlikimą atgal. Paimkite du pirmiau minėtus pavyzdžius su daugianariais, kuriuose yra trupmenos koeficientai. Atliekant FOIL metodą atgal kiekvienam iš jų, atsiranda veiksniai
\ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
pirmajam daugianariui ir faktoriai
\ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} {2} \ bigg)
antram daugianariui.
Pavyzdys:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 = \ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
Pavyzdys:
x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8} = \ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} { 2} \ bigg)
Veiksmai, kuriuos reikia atlikti skaičiuojant polinomų trupmenas
Iš viršaus, daugianario trupmenos apima skaitiklyje esantį daugianarį, padalytą iš vardiklyje esančio daugianario. Taigi, norint įvertinti daugianario dalis, pirmiausia reikia suskirstyti skaitiklio polinomą, o paskui - vardiklio daugianarį. Tai padeda rasti didžiausią bendrą faktorių arba GKF tarp skaitiklio ir vardiklio. Suradus skaitiklio ir vardiklio GKF, jis panaikinamas, galiausiai sumažinant visą lygtį supaprastintais terminais. Apsvarstykite pirmiau pateiktą originalų daugianario trupmenos pavyzdį
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
Suskaičiuojant skaitiklio ir vardiklio polinomus, norint rasti GKF, gaunami:
\ frac {(x + 2) (x + 5)} {(x + 2) (x + 9)}
esant PKF (x + 2).
Skaičiuoklėje ir vardiklyje esantis GKF panaikina vienas kitą, kad pateiktų galutinį atsakymą žemiausiais (x + 5) ÷ (x + 9).
Pavyzdys:
\ begin {aligned} \ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18} & = \ frac {\ cancel {(x + 2)} (x + 5)} {\ cancel {(atšaukti x + 2)} (x + 9)} \\ & = \ frac {x + 5} {x + 9} \ pabaiga {lygiuota}
Lygčių įvertinimas dalinio trupinimo skaidymo būdu
Dalinis frakcijos skaidymas, kuris apima faktoringą, yra būdas perrašyti sudėtingas daugianario trupmenos lygtis į paprastesnę formą. Dar kartą peržiūrint pavyzdį iš viršaus
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2}
Supaprastinkite vardiklį
Supaprastinkite vardiklį, kad gautumėte:
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2} = \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x - 1)}
Pertvarkykite skaitiklį
Tada pertvarkykite skaitiklį taip, kad vardiklyje būtų GCF, kad gautumėte:
\ begin {aligned} \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x - 1)} & = \ frac {3x + 5x - 3 + 10} {(x + 2) (x - 1)} \ \ & = \ frac {3x - 3} {(x + 2) (x - 1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x - 1)} \\ \ end {lygiuota}
Kairiajame priede GCF yra (x - 1), o dešiniajam priedui GCF yra (x + 2), kurie atšaukiami skaitikliu ir vardikliu, kaip parodyta:
\ frac {3x - 3} {(x + 2) (x - 1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x - 1)} = \ frac {3 \ Cancel {(x - 1)}} {(x + 2) \ atšaukti {(x - 1)}} + \ frac {5 \ atšaukti {(x + 2)}} {\ atšaukti {(x + 2)} (x - 1) }
Taigi, atšaukus GKF, galutinis supaprastintas atsakymas yra toks:
\ frac {3} {x + 2} + \ frac {5} {x - 1}
kaip dalinės frakcijos skaidymo tirpalas.