Tarkime, kad turite n elementų tipą ir norite pasirinkti jų r kolekciją. Galbūt norėsime šių prekių tam tikra tvarka. Šiuos elementų rinkinius mes vadiname permutacijomis. Jei tvarka nesvarbi, kolekcijų rinkinį vadiname deriniais. Abiejų derinių ir permutacijų atveju galite apsvarstyti atvejį, kai kai kuriuos iš n tipų pasirenkate daugiau nei vieną kartą, kuris vadinamas „su pasikartojimu“, arba atvejis, kai kiekvieną tipą pasirenkate tik vieną kartą, kuris vadinamas „ne“ kartojimas “. Tikslas yra sugebėti suskaičiuoti derinių ar permutacijų skaičių, galimą tam tikroje situacijoje.
Užsakymai ir faktoriai
Faktorinė funkcija dažnai naudojama apskaičiuojant derinius ir permutacijas. N! reiškia N × (N – 1) ×... × 2 × 1. Pavyzdžiui, 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Elementų rinkinio užsakymo būdų skaičius yra faktorius. Paimkite tris raides a, b ir c. Pirmąją raidę galite pasirinkti tris, antrąją - dvi, o trečiąją - tik vieną. Kitaip tariant, iš viso 3 × 2 × 1 = 6 užsakymai. Apskritai yra n! būdų, kaip užsisakyti n daiktus.
Permutacijos su kartojimu
Tarkime, kad turite tris kambarius, kuriuos dažysite, ir kiekvienas bus nudažytas viena iš penkių spalvų: raudona (r), žalia (g), mėlyna (b), geltona (y) arba oranžinė (o). Kiekvieną spalvą galite pasirinkti tiek kartų, kiek norite. Pirmam kambariui galite pasirinkti penkias spalvas, antram - penkias ir trečiam - penkias. Tai suteikia iš viso 5 × 5 × 5 = 125 galimybes. Apskritai būdų, kaip pasirinkti n elementų grupę tam tikra tvarka iš n pakartotinų pasirinkimų, yra n ^ r.
Permutacijos be pakartojimų
Dabar tarkime, kad kiekvienas kambarys bus skirtingos spalvos. Pirmam kambariui galite rinktis iš penkių spalvų, antrajam - keturių, trečiam - tik trijų. Tai duoda 5 × 4 × 3 = 60, kuris tiesiog būna 5! / 2!. Apskritai nepriklausomų būdų pasirinkti r elementus tam tikra tvarka iš n nepakartojamų pasirinkimų yra n! / (N – r) !.
Deriniai be pasikartojimo
Tada pamirškite, kuris kambarys yra kokios spalvos. Tiesiog spalvų schemai pasirinkite tris nepriklausomas spalvas. Tvarka čia nesvarbi, todėl (raudona, žalia, mėlyna) yra tokia pati kaip (raudona, mėlyna, žalia). Bet kokiam trijų spalvų pasirinkimui yra 3! būdai, kaip galite juos užsisakyti. Taigi sumažinsite permutacijų skaičių 3! gauti 5! / (2! × 3!) = 10. Apskritai r elementų grupę galite pasirinkti bet kokia tvarka iš n nepakartojamų pasirinkimų n! / [(N – r)! × r!] Būdų.
Deriniai su kartojimu
Galiausiai turite sukurti spalvų schemą, kurioje galite naudoti bet kurią spalvą tiek kartų, kiek norite. Sumanus buhalterijos kodas padeda atlikti šią skaičiavimo užduotį. Naudokite tris X, kad vaizduotumėte kambarius. Jūsų spalvų sąrašą žymi „rgbyo“. Sumaišykite X į savo spalvų sąrašą ir susiekite kiekvieną X su pirmąja spalva kairėje jo pusėje. Pavyzdžiui, „rgXXbyXo“ reiškia, kad pirmasis kambarys yra žalias, antrasis - žalias, o trečiasis - geltonas. X kairėje turi būti bent viena spalva, taigi pirmajam X yra penki laisvi lizdai. Kadangi dabar sąraše yra X, antram X yra šeši laisvi lizdai ir trečiajam X septyni. Iš viso yra 5 × 6 × 7 = 7! / 4! kodo užrašymo būdai. Tačiau kambarių eiliškumas yra savavališkas, todėl iš tikrųjų yra tik 7! / (4! × 3!) Unikalūs susitarimai. Apskritai galite pasirinkti r elementus bet kokia tvarka iš n pakartojamų pasirinkimų (n + r – 1)! / [(N – 1)! × r!] Būdais.