Sinuso ir kosinuso sąvokų įvaldymas yra neatsiejama trigonometrijos dalis. Bet kai turėsite šias idėjas po savo diržu, jos taps kitų naudingų trigonometrijos įrankių ir vėliau skaičiavimo elementais. Pavyzdžiui, „kosinusų dėsnis“ yra speciali formulė, kurią galite naudoti norėdami rasti trūkstamą trikampio kraštą, jei žinote kitų dviejų pusių ilgis plius kampas tarp jų arba rasti trikampio kampus, kai žinote visas tris šonus.
Kosinijų įstatymas
Kosinusų dėsnis pateikiamas keliomis versijomis, atsižvelgiant į tai, su kokiais trikampio kampais ar kraštais jūs susiduriate:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A) \\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac × \ cos (B) \\ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab × \ cos (C)
Kiekvienu atvejua, bircyra trikampio kraštinės irA, BarbaCyra kampas priešais tos pačios raidės kraštą. TaigiAyra kampas, esantis priešingoje pusėjea, Byra kampas, esantis priešingoje pusėjebirCyra kampas, esantis priešingoje pusėjec. Tai yra lygties forma, kurią naudojate, jei rasite vieno iš trikampio kraštinių ilgį.
Kosinusų dėsnis taip pat gali būti perrašytas versijomis, kurios palengvina bet kurio iš trijų trikampio kampų paiešką, darant prielaidą, kad žinote visų trijų trikampio kraštinių ilgius:
cos (A) = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} \\ \, \\ cos (B) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2} { 2ac} \\ \, \\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Šalies sprendimas
Norint panaudoti kosinusų dėsnį trikampio kraštinei išspręsti, jums reikia trijų informacijos dalių: kitų dviejų trikampio kraštinių ilgių ir kampo tarp jų. Pasirinkite formulės versiją, kurioje pusė, kurią norite rasti, yra kairėje nuo lygties, o jau turima informacija yra dešinėje. Taigi, jei norite sužinoti šono ilgįa, norėtumėte naudoti versiją
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A)
Į formulę pakeiskite dviejų žinomų pusių vertes ir kampą tarp jų. Jei jūsų trikampis turi žinomas pusesbirckad matuojate atitinkamai 5 vienetus ir 6 vienetus, o kampas tarp jų yra 60 laipsnių (kuris taip pat gali būti išreikštas radianais kaip π / 3), turėtumėte:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ cos (60)
Norėdami sužinoti kosinuso vertę, naudokite lentelę arba skaičiuoklę; šiuo atveju cos (60) = 0,5, suteikiant jums lygtį:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0,5
Supaprastinkite 2 žingsnio rezultatą. Tai suteikia jums:
a ^ 2 = 25 + 36 - 30
Tai savo ruožtu supaprastina:
a ^ 2 = 31
Norėdami baigti spręsti, paimkite abiejų pusių kvadratinę šaknįa. Tai jums paliks:
a = \ sqrt {31}
Nors naudodamiesi diagrama ar skaičiuokle galėtumėte įvertinti √31 vertę (tai 5,568), jums dažnai bus leista ir netgi raginama palikti atsakymą tikslesne radikalia forma.
Sprendimas kampui
Jei norite sužinoti bet kurį iš trikampio kampų, galite taikyti tą patį procesą, jei žinote visas tris jo puses. Šį kartą pasirinksite formulės versiją, kuri kairėje ženklo „lygybė“ pusėje paduos trūkstamą arba „nežinau“ kampą. Įsivaizduokite, kad norite rasti kampo C matą (kuris, atminkite, apibrėžiamas kaip kampas priešingoje pusėje)c). Naudotumėte šią formulės versiją:
\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Pakeiskite žinomas reikšmes - tokio tipo užduotyse tai reiškia visų trijų trikampio kraštinių ilgius - į lygtį. Kaip pavyzdį tegul būna jūsų trikampio kraštinėsa= 3 vienetai,b= 4 vienetai irc= 25 vienetai. Taigi jūsų lygtis tampa:
\ cos (C) = \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 5 ^ 2} {2 × 3 × 4}
Kai supaprastinsite gautą lygtį, turėsite:
\ cos (C) = \ frac {0} {24}
arba tiesiog cos (C) = 0.
Apskaičiuokite atvirkštinį kosinusą arba lankinį kosinusą iš 0, dažnai žymimą kaip cos-1(0). Arba, kitaip tariant, kurio kampo kosinusas yra 0? Iš tikrųjų yra du kampai, kurie grąžina šią vertę: 90 ir 270 laipsnių. Bet pagal apibrėžimą jūs žinote, kad kiekvienas trikampio kampas turi būti mažesnis nei 180 laipsnių, todėl paliekama tik 90 laipsnių kampas.
Taigi jūsų trūkstamo kampo matas yra 90 laipsnių, o tai reiškia, kad jūs susidūrėte su stačiuoju trikampiu, nors šis metodas veikia ir su ne stačiaisiais trikampiais.