Daugelis žmonių prisimenaPitagoro teoremaiš pradedančiųjų geometrijos - tai klasika. Tai yra
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
kura, bircyra stačiojo trikampio kraštinės (cyra hipotenuzė). Na, šią teoremą taip pat galima perrašyti trigonometrijai!
TL; DR (per ilgai; Neskaiciau)
TL; DR (per ilgai; Neskaiciau)
Pitagoro tapatybės yra lygtys, kurios užrašo Pitagoro teoremą trigrašio funkcijomis.
PagrindinisPitagoro tapatybėsyra:
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1 \\ 1 + \ tan ^ 2 (θ) = \ sec ^ 2 (θ) \\ 1 + \ cot ^ 2 (θ) = \ csc ^ 2 (θ)
Pitagoro tapatybės yra pavyzdžiaitrigonometriniai tapatumai: lygybės (lygtys), naudojančios trigonometrines funkcijas.
Kodėl tai svarbu?
Pitagoro tapatybės gali būti labai naudingos supaprastinant sudėtingus trig sakinius ir lygtis. Įsiminkite juos dabar ir galite sutaupyti daug laiko kelyje!
Įrodymas naudojant „trig“ funkcijų apibrėžimus
Šias tapatybes įrodyti gana paprasta, jei pagalvotumėte apie trig funkcijų apibrėžimus. Pavyzdžiui, įrodykime tai
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1
Atminkite, kad sinuso apibrėžimas yra priešinga pusė / hipotenuzė, o kosinusas yra gretima pusė / hipotenuzė.
Taigi
\ sin ^ 2 = \ frac {\ text {priešinga} ^ 2} {\ text {hipotenuzė} ^ 2}
Ir
\ cos ^ 2 = \ frac {\ text {gretimas} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Šiuos du galite lengvai sujungti, nes vardikliai yra vienodi.
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = \ frac {\ text {priešinga} ^ 2 + \ text {greta} ^ 2} {\ text {hipotenuzė} ^ 2}
Dabar dar kartą pažvelk į Pitagoro teoremą. Tai sakoa2 + b2 = c2. Turėkite tai omenyjeairbstovėti priešingoje ir gretimose pusėse ircreiškia hipotenuzą.
Galite pertvarkyti lygtį, padalydami abi puses išc2:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \\ \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1
Nuoa2 irb2 yra priešingos ir gretimos pusės irc2 yra hipotenuzė, turite lygiavertį teiginį kaip ir aukščiau, su (priešais2 + greta2) / hipotenuzė2. Ir dėka darbo sua, b, cir Pitagoro teorema, dabar galite pamatyti, kad šis teiginys lygus 1!
Taigi
\ frac {\ text {priešingas} ^ 2 + \ text {gretimas} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2} = 1
ir todėl:
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = 1
(Ir geriau tai tinkamai išrašyti: nuodėmė2(θ) + cos2(θ) = 1).
Abipusės tapatybės
Praleiskime keletą minučių žiūrėdami įabipusės tapatybėstaip pat. Atminkite, kadabipusisyra padalintas iš jūsų skaičiaus („per“) - dar žinomas kaip atvirkštinis.
Kadangi kosekantas yra sinuso abipusis:
\ csc (θ) = \ frac {1} {\ sin (θ)}
Taip pat galite pagalvoti apie kosekantą naudodami sinuso apibrėžimą. Pavyzdžiui, sinusas = priešinga pusė / hipotenuzė. Atvirkštinė dalis bus aukštyn kojomis apversta frakcija, kuri yra hipotenuzė / priešinga pusė.
Panašiai kosinuso abipusis yra sekantiškas, todėl jis apibrėžiamas kaip
\ sec (θ) = \ frac {1} {\ cos (θ)} \ text {arba} \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {gretimoji pusė}}
Ir tangento abipusis yra kotangentas, taigi
\ cot (θ) = \ frac {1} {\ tan (θ)} = \ frac {\ text {gretima pusė}} {\ text {priešinga pusė}}
Pitagoro tapatybių, naudojančių sekantą ir kosekantą, įrodymai yra labai panašūs į sinuso ir kosinuso įrodymus. Lygtis taip pat galite išvesti naudodami „tėvų“ lygtį „sin“2(θ) + cos2(θ) = 1. Padalinkite abi puses iš cos2(θ), kad gautumėte tapatybę 1 + įdegis2(θ) = sek2(θ). Padalinkite abi puses iš nuodėmės2(θ), kad gautumėte tapatybę 1 + lovelė2(θ) = csc2(θ).
Sėkmės ir būtinai įsiminkite tris Pitagoro tapatybes!
