Nors angliški žodžiai „seka“ ir „serija“ turi panašią reikšmę, matematikoje tai yra visiškai skirtingos sąvokos. Seka yra skaičių, išdėstytų apibrėžta tvarka, sąrašas, o serija yra tokio skaičių sąrašo suma. Yra daugybė sekų rūšių, įskaitant tas, kurios pagrįstos begaliniu skaičių sąrašu. Skirtingos sekos ir atitinkamos serijos turi skirtingas savybes ir gali duoti stebėtinus rezultatus.
TL; DR (per ilgai; Neskaiciau)
Sekos yra skaičių sąrašai, išdėstyti tam tikra tvarka pagal pateiktas taisykles. Seka, atitinkanti seką, yra tos sekos skaičių suma. Serijos gali būti aritmetinės, vadinasi, yra fiksuotas skirtumas tarp serijos skaičių, arba geometrinis, tai reiškia, kad yra fiksuotas koeficientas. Begalinės serijos neturi galutinio skaičiaus, tačiau tam tikromis sąlygomis vis tiek gali turėti fiksuotą sumą.
Sekų ir serijų tipai
Dažniausios sekos yra aritmetinės arba geometrinės. Aritmetinėje sekoje kiekvienas sekos skaičius ar terminas skiriasi nuo ankstesnio termino tuo pačiu dydžiu. Pavyzdžiui, jei aritmetinės sekos skirtumas yra 2, atitinkama aritmetinė seka gali būti 1, 3, 5... Jei skirtumas yra -3, seka gali būti 4, 1, -2... Aritmetinę seką nusako pradinis skaičius ir skirtumas.
Geometrinėms sekoms terminai skiriasi koeficientu. Pavyzdžiui, 2 koeficiento seka gali būti 2, 4, 8... o seka, kurios koeficientas yra 0,75, gali būti 32, 24, 18... Geometrinę seką nusako pradinis skaičius ir koeficientas.
Serijų tipai priklauso nuo pridėtos sekos. Aritmetinė eilutė prideda aritmetinės sekos terminus, o geometrinė eilutė - geometrinę seką.
Baigtiniai ir begaliniai sekos ir serijos
Sekos ir atitinkamos serijos gali būti pagrįstos fiksuotu terminų skaičiumi arba begaliniu skaičiumi. Baigtinė seka turi pradinį skaičių, skirtumą ar faktorių ir fiksuotą bendrą terminų skaičių. Pavyzdžiui, pirmoji aukščiau pateikta aritmetinė seka su aštuoniais terminais būtų 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Pirmoji pirmoji geometrinė seka su šešiais terminais būtų 2, 4, 8, 16, 32, 64. Atitinkamos aritmetinės eilutės vertė būtų 64, o geometrinė - 126. Begalinėse sekose nėra fiksuoto terminų skaičiaus, o jų terminai gali išaugti iki begalybės, sumažėti iki nulio arba priartėti prie fiksuotos vertės. Atitinkama serija taip pat gali turėti begalinį, nulinį arba fiksuotą rezultatą.
„Convergent“ ir „Divergent“ serijos
Begalinės eilės skiriasi, jei suma artėja prie begalybės, didėjant terminų skaičiui. Begalinė eilutė yra konvergentiška, jei jos suma artėja prie begalinės vertės, tokios kaip nulis ar kitas fiksuotas skaičius. Serijos yra suartėjusios, jei pagrindinės sekos sąlygos greitai artėja prie nulio.
Serija, pridedanti begalinės sekos 1, 2, 4 terminus... yra skirtingas, nes sekos terminai nuolat auga, todėl suma didėjant terminų skaičiui leidžia pasiekti begalinę vertę. 1, 0,5, 0,25 serijos... yra suartėjęs, nes terminai greitai tampa labai maži.
Nors sekos yra išdėstytos pagal skaičių sąrašus, o eilės yra sumos, abi gali būti svarbios priemonės vertinant skaičių rinkinius, konvergencijos ar divergencijos savybės gali turėti realų gyvenimą potekstės. Skirtinga serija dažnai atspindi nestabilią sąlygą, o konverguojanti serija dažnai reiškia, kad procesas ar struktūra bus stabilūs.