Matematikoje teiginiui paneigti naudojamas priešpriešinis pavyzdys. Jei norite įrodyti, kad teiginys yra teisingas, turite parašyti įrodymą, įrodantį, kad jis visada teisingas; pateikti pavyzdį nepakanka. Palyginti su įrodymo rašymu, priešpriešinio pavyzdžio rašymas yra daug paprastesnis; jei norite parodyti, kad teiginys nėra teisingas, turite pateikti tik vieną scenarijaus, kuriame teiginys yra melagingas, pavyzdį. Daugumoje algebros pavyzdžių yra skaitinės manipuliacijos.
Dvi matematikos klasės
Dvi pagrindinės matematikos klasės yra įrodymų rašymas ir priešpriešinių pavyzdžių paieška. Dauguma matematikų sutelkia dėmesį į įrodymų rašymą, kad sukurtų naujas teoremas ir savybes. Kai teiginių ar spėliojimų neįmanoma įrodyti, matematikai juos paneigia pateikdami priešpriešinius pavyzdžius.
Priešiniai pavyzdžiai yra konkretūs
Užuot naudoję kintamuosius ir abstrakčius užrašus, argumentams paneigti galite naudoti skaitinius pavyzdžius. Algebroje dauguma kontrpavyzdžių apima manipuliavimą naudojant skirtingus teigiamus ir neigiamus arba nelyginius ir lyginius skaičius, kraštutinius atvejus ir specialius skaičius, tokius kaip 0 ir 1.
Pakanka vieno kontrpavyzdžio
Kontrapavyzdžio filosofija yra ta, kad jei pagal vieną scenarijų teiginys nepasitvirtina, tai teiginys yra klaidingas. Nematematinis pavyzdys yra „Tomas niekada nemelavo“. Norėdami parodyti, kad šis teiginys yra teisingas, turite pateikti „įrodymą“, kad Tomas niekada neteikė melo, sekdamas kiekvieną Tomo kada nors pasakytą teiginį. Tačiau norint paneigti šį teiginį, reikia parodyti tik vieną melą, kurį Tomas kada nors yra sakęs.
Garsūs priešpriešai
"Visi pirminiai skaičiai yra nelyginiai." Nors beveik visi pirminiai skaičiai, įskaitant visus pradmenis, viršijančius 3, yra nelyginiai, „2“ yra lyginis pirminis skaičius; šis teiginys yra klaidingas; „2“ yra atitinkamas priešpriešinis pavyzdys.
"Atimtis yra komutacinė." Ir sudėjimas, ir dauginimas yra komutaciniai - juos galima atlikti bet kokia tvarka. Tai yra, kad bet kokiems realiesiems skaičiams a ir b a + b = b + a ir a * b = b * a. Tačiau atimtis nėra komutacinė; tai įrodantis priešpriešinis pavyzdys: 3 - 5 nėra lygus 5 - 3.
"Kiekviena ištisinė funkcija yra diferencijuojama." Absoliuti funkcija | x | yra tęstinis visiems teigiamiems ir neigiamiems skaičiams; bet jis nėra diferencijuojamas esant x = 0; nuo | x | yra tęstinė funkcija, šis priešpriešinis pavyzdys įrodo, kad ne kiekviena tęstinė funkcija yra diferencijuojama.
