다항식을 포함하는 대수 방정식을 풀기 시작하면 특수하고 쉽게 인수 분해 된 다항식을 인식하는 기능이 매우 유용 해집니다. 가장 유용한 "쉬운 인자"다항식 중 하나는 완전 제곱 또는 이항을 제곱 한 결과 인 삼항식입니다. 완벽한 정사각형을 식별 한 후에는 개별 구성 요소로 팩토링하는 것이 문제 해결 프로세스의 중요한 부분 인 경우가 많습니다.
완벽한 제곱 삼항식을 인수 분해하려면 먼저 그것을 인식하는 법을 배워야합니다. 완벽한 사각형은 두 가지 형태 중 하나를 취할 수 있습니다.
a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \ text {,} (a + b) (a + b) = (a + b) ^ 2 \\ a ^ 2-2ab + b ^ 2 \ text {, 이는} (a-b) (a-b) = (a-b) ^ 2의 곱입니다.
삼항식의 첫 번째 항과 세 번째 항을 확인하십시오. 둘 다 정사각형입니까? 그렇다면 제곱이 무엇인지 알아 내십시오. 예를 들어, 위에 주어진 두 번째 "실제 세계"예에서 :
y ^ 2-2 년 + 1
용어와이2 분명히 제곱입니다와이.1이라는 용어는 1의 제곱입니다.2 = 1.
첫 번째 항과 세 번째 항의 근을 함께 곱하십시오. 예제를 계속하려면와이그리고 1은와이 × 1 = 1와이또는 간단히와이.
다음으로 제품에 2를 곱합니다. 예제를 계속하면 2와이.
마지막으로 마지막 단계의 결과를 다항식의 중간 항과 비교합니다. 일치합니까? 다항식에서와이2 – 2와이+ 1, 그렇습니다. (기호는 관련이 없습니다. 중간 기간이 +2이면 일치합니다.와이.)
1 단계의 답이 "예"이고 2 단계의 결과가 다항식의 중간 항과 일치하기 때문에 완벽한 제곱 삼항식을보고 있다는 것을 알 수 있습니다.
완벽한 제곱 삼항식을보고 있다는 것을 알게되면이를 인수 분해하는 과정은 매우 간단합니다.
삼항식의 첫 번째 항과 세 번째 항에서 근 또는 제곱되는 숫자를 식별합니다. 이미 알고있는 삼항식 예제 중 하나가 완전 제곱임을 고려하십시오.
x ^ 2 + 8x + 16
분명히 첫 번째 항에서 제곱되는 숫자는엑스. 세 번째 항에 제곱되는 숫자는 4입니다.2 = 16.
완벽한 제곱 삼항식에 대한 공식을 다시 생각해보십시오. 귀하의 요인은 (ㅏ + 비)(ㅏ + 비) 또는 형식 (ㅏ – 비)(ㅏ – 비), 어디ㅏ과비첫 번째와 세 번째 항으로 제곱되는 숫자입니다. 따라서 지금은 각 용어 중간에있는 기호를 생략하여 요인을 적절하게 작성할 수 있습니다.
(ㅏ \,? \, b) (a \,? \, b) = a ^ 2 \,? \, 2ab + b ^ 2
현재 삼항식의 근을 대체하여 예제를 계속하려면 다음이 필요합니다.
(x \,? \, 4) (x \,? \, 4) = x ^ 2 + 8x + 16
삼항식의 중간 항을 확인하십시오. 양수 기호 또는 음수 기호가 있습니까 (또는 다른 말로하면 더하거나 뺄 수 있습니까)? 양수 부호가 있거나 추가되는 경우 삼항식의 두 요소 모두 중간에 더하기 부호가 있습니다. 음수 부호가 있거나 빼고있는 경우 두 요인의 중간에 음수 부호가 있습니다.
현재 예제 삼항식의 중간 항은 8입니다.엑스– 그것은 양수입니다 – 그래서 당신은 이제 완벽한 제곱 삼항식을 인수 분해했습니다 :
(x + 4) (x + 4) = x ^ 2 + 8x + 16
두 요소를 함께 곱하여 작업을 확인하십시오. FOIL 또는 첫 번째, 외부, 내부, 마지막 방법을 적용하면 다음이 제공됩니다.
x ^ 2 + 4x + 4x + 16
이것을 단순화하면 결과를 얻을 수 있습니다.엑스2 + 8엑스+ 16은 삼항식과 일치합니다. 따라서 요인은 정확합니다.