다항식의 근은 0이라고도합니다. 근은엑스함수가 0 인 값. 실제로 뿌리를 찾는 데에는 여러 가지 기술이 있습니다. 팩토링은 가장 자주 사용하는 방법이지만 그래프도 유용 할 수 있습니다.
얼마나 많은 뿌리?
다항식의 최고 차수 항, 즉 가장 높은 지수를 가진 항을 조사합니다. 그 지수는 다항식이 가질 근의 수입니다. 따라서 다항식에서 가장 높은 지수가 2이면 두 개의 근을 갖게됩니다. 가장 높은 지수가 3이면 근이 3 개입니다. 등등.
경고
-
한 가지 문제가 있습니다. 다항식의 근은 실제 또는 가상이 될 수 있습니다. "실수"근은 실수로 알려진 집합의 구성원으로, 수학 경력의이 시점에서 다루는 데 익숙한 모든 숫자입니다. 허수를 마스터하는 것은 완전히 다른 주제이므로 지금은 세 가지만 기억하십시오.
- "가상"뿌리는 음수의 제곱근을 가질 때 잘립니다. 예: √ (-9).
- 상상의 뿌리는 항상 쌍을 이룹니다.
- 다항식의 근은 실수 또는 허수일 수 있습니다. 따라서 5 차 다항식이있는 경우 5 개의 실제 근이있을 수 있고 3 개의 실제 근과 2 개의 가상 근이있을 수 있습니다.
인수 분해하여 근 찾기: 예 1
근을 찾는 가장 다양한 방법은 다항식을 가능한 한 많이 인수 분해 한 다음 각 항을 0으로 설정하는 것입니다. 몇 가지 예를 살펴보면 훨씬 더 의미가 있습니다. 간단한 다항식을 고려하십시오.엑스2 – 4엑스:
간단한 검사를 통해엑스다항식의 두 항에서 다음을 제공합니다.
x (x-4)
각 용어를 0으로 설정합니다. 이는 두 가지 방정식을 푸는 것을 의미합니다.
x = 0
0으로 설정된 첫 번째 용어이고
x-4 = 0
0으로 설정된 두 번째 항입니다.
당신은 이미 첫 학기에 대한 해결책을 가지고 있습니다. 만약엑스= 0이면 전체 표현식이 0이됩니다. 그래서엑스= 0은 다항식의 근 또는 0 중 하나입니다.
이제 두 번째 항을 고려하고엑스. 양쪽에 4를 더하면 다음을 얻게됩니다.
x-4 + 4 = 0 + 4
다음을 단순화합니다.
x = 4
그래서 만약엑스= 4이면 두 번째 요소는 0과 같습니다. 즉, 전체 다항식도 0과 같습니다.
원래 다항식이 2 차 였기 때문에 (가장 높은 지수는 2 임)이 다항식에 대해 가능한 근이 두 개뿐이라는 것을 알고 있습니다. 이미 둘 다 찾았으므로 목록을 작성하기 만하면됩니다.
x = 0, x = 4
인수 분해하여 근 찾기: 예 2
여기에 멋진 대수를 사용하여 인수 분해하여 근을 찾는 방법에 대한 또 다른 예가 있습니다. 다항식을 고려하십시오엑스4 – 16. 지수를 간단히 살펴보면이 다항식에 대해 4 개의 근이 있어야 함을 알 수 있습니다. 이제 그들을 찾을 시간입니다.
이 다항식을 제곱의 차이로 다시 작성할 수 있다는 것을 알고 계셨습니까? 그래서 대신엑스4 – 16, 당신은 :
(x ^ 2) ^ 2-4 ^ 2
제곱의 차이에 대한 공식을 사용하여 다음을 고려합니다.
(x ^ 2-4) (x ^ 2 + 4)
첫 번째 항은 다시 제곱의 차이입니다. 따라서 오른쪽에있는 용어를 더 이상 인수 분해 할 수 없지만 왼쪽에있는 용어를 한 단계 더 인수 분해 할 수 있습니다.
(x-2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
이제 0을 찾을 때입니다. 다음과 같은 경우에엑스= 2 인 경우 첫 번째 요소는 0이므로 전체 표현식은 0이됩니다.
마찬가지로엑스= −2, 두 번째 요소는 0이므로 전체 표현식도 마찬가지입니다.
그래서엑스= 2 및엑스= −2는 모두이 다항식의 0 또는 근입니다.
하지만 그 마지막 학기는 어떻습니까? 지수가 "2"이므로 근이 두 개 있어야합니다. 하지만 익숙한 실수를 사용하여이 표현을 인수 분해 할 수 없습니다. 허수 또는 원하는 경우 복소수라고하는 매우 진보 된 수학적 개념을 사용해야합니다. 이것은 현재 수학 연습의 범위를 훨씬 벗어납니다. 따라서 지금은 두 개의 실제 근 (2 및 -2)과 정의되지 않은 두 개의 가상 근이 있다는 점에 유의하는 것으로 충분합니다.
그래프로 근 찾기
그래프로 근을 찾거나 최소한 추정 할 수도 있습니다. 모든 근은 함수의 그래프가 교차하는 지점을 나타냅니다.엑스중심선. 따라서 선을 그래프로 표시 한 다음엑스선이 교차하는 좌표엑스축, 당신은 추정을 삽입 할 수 있습니다엑스해당 포인트의 값을 방정식에 입력하고 올바른지 확인하십시오.
다항식에 대해 작업 한 첫 번째 예를 고려하십시오.엑스2 – 4엑스. 조심스럽게 그리면 선이 교차하는 것을 볼 수 있습니다.엑스축엑스= 0 및엑스= 4. 이러한 각 값을 원래 방정식에 입력하면 다음을 얻을 수 있습니다.
0^2 - 4(0) = 0
그래서엑스= 0은이 다항식에 유효한 0 또는 근입니다.
4^2 - 4(4) = 0
그래서엑스= 4는이 다항식에 대해 유효한 0 또는 근입니다. 그리고 다항식이 2 차이 기 때문에 두 근을 찾는 것을 멈출 수 있습니다.