미적분에서 수행하는 중요한 작업 중 하나는 도함수를 찾는 것입니다. 함수의 미분을 해당 함수의 변화율이라고도합니다. 예를 들어, x (t)가 임의의 시간 t에서 자동차의 위치 인 경우 x의 미분 (dx / dt로 표기 됨)은 자동차의 속도입니다. 또한 미분은 함수의 그래프에 접하는 선의 기울기로 시각화 할 수 있습니다. 이론적 수준에서 이것은 수학자가 파생물을 찾는 방법입니다. 실제로 수학자들은 기본 규칙과 룩업 테이블 세트를 사용합니다.
슬로프로서의 미분
두 점 사이의 선 기울기는 상승, y 값의 차이를 런으로 나눈 값 또는 x 값의 차이입니다. x의 특정 값에 대한 함수 y (x)의 기울기는 점 [x, y (x)]에서 함수에 접하는 선의 기울기로 정의됩니다. 기울기를 계산하기 위해 점 [x, y (x)]와 가까운 점 [x + h, y (x + h)] 사이에 선을 구성합니다. 여기서 h는 매우 작은 수입니다. 이 선의 경우 x 값의 런 또는 변경은 h이고 y 값의 상승 또는 변경은 y (x + h)-y (x)입니다. 따라서 점 [x, y (x)]에서 y (x)의 기울기는 [y (x + h)-y (x)] / [(x + h)-x] = [y ( x + h)-y (x)] / h. 기울기를 정확하게 얻으려면 h가 점점 작아지면서 0이되는 "한계"까지 기울기 값을 계산합니다. 이렇게 계산 된 기울기는 y (x)의 미분으로 y’(x) 또는 dy / dx로 표시됩니다.
거듭 제곱 함수의 도함수
기울기 / 제한 방법을 사용하여 y가 a의 거듭 제곱에 대한 x 또는 y (x) = x ^ a 인 함수의 미분을 계산할 수 있습니다. 예를 들어, y가 x 세제곱, y (x) = x ^ 3이면 h가 [(x + h) ^ 3-x ^ 3] / h의 0이 될 때 dy / dx가 한계입니다. (x + h) ^ 3을 확장하면 [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3-x ^ 3] / h가됩니다. 나눈 후 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2로 줄어 듭니다. h. 한계에서 h가 0이되면 h가있는 모든 항도 0이됩니다. 따라서 y’(x) = dy / dx = 3x ^ 2입니다. 3이 아닌 a 값에 대해이 작업을 수행 할 수 있으며 일반적으로 d / dx (x ^ a) = (a-1) x ^ (a-1)임을 표시 할 수 있습니다.
멱급수에서 파생
많은 함수는 무한한 수 항의 합인 멱급수로 작성 될 수 있습니다. 각각의 형식은 C (n) x ^ n입니다. 여기서 x는 변수, n은 정수, C (n)은 각 값에 대한 특정 숫자입니다. 엔. 예를 들어, 사인 함수의 멱급수는 Sin (x) = x-x ^ 3 / 6 + x ^ 5 / 120-x ^ 7 / 5040 + ...입니다. 여기서 "..."는 계속되는 항을 의미합니다. 무한대. 함수의 멱급수를 알고 있다면 x ^ n의 도함수를 사용하여 함수의 도함수를 계산할 수 있습니다. 예를 들어, Sin (x)의 미분은 1-x ^ 2 / 2 + x ^ 4 / 24-x ^ 6 / 720 + ...과 같습니다. 이것은 Cos (x)의 거듭 제곱입니다.
테이블에서 파생 된 항목
x ^ a와 같은 거듭 제곱, 지수 함수, 로그 함수 및 삼각 함수와 같은 기본 함수의 미분은 기울기 / 제한 방법, 거듭 제곱 방법 또는 기타 방법을 사용하여 찾을 수 있습니다. 이러한 파생 상품은 표에 나열됩니다. 예를 들어, Sin (x)의 미분이 Cos (x)임을 찾을 수 있습니다. 복잡한 기능이 기본 기능의 조합 인 경우 체인 규칙 및 제품 규칙과 같은 특수 규칙이 필요하며 표에도 나와 있습니다. 예를 들어, 연쇄 규칙을 사용하여 Sin (x ^ 2)의 미분이 2xCos (x ^ 2)임을 알 수 있습니다. 곱셈 규칙을 사용하여 xSin (x)의 미분이 xCos (x) + Sin (x)임을 알 수 있습니다. 표와 간단한 규칙을 사용하여 모든 함수의 파생물을 찾을 수 있습니다. 그러나 함수가 매우 복잡 할 때 과학자들은 때때로 컴퓨터 프로그램에 도움을 요청합니다.