수학에서는 함수가 선형 적 의미에서 서로 종속적인지 독립적인지를 증명해야하는 경우가 있습니다. 선형 종속 함수가 두 개인 경우 해당 함수의 방정식을 그래프로 표시하면 점이 겹칩니다. 독립 방정식이있는 함수는 그래프로 표시 될 때 겹치지 않습니다. 함수가 종속인지 독립인지를 결정하는 한 가지 방법은 함수에 대한 Wronskian을 계산하는 것입니다.
Wronskian은 무엇입니까?
둘 이상의 함수의 Wronskian은 수학적 객체를 비교하고 그에 대한 특정 사실을 증명하는 데 사용되는 특수 함수 인 행렬식으로 알려진 것입니다. Wronskian의 경우 행렬식은 둘 이상의 선형 함수 간의 종속성 또는 독립성을 증명하는 데 사용됩니다.
Wronskian 매트릭스
선형 함수에 대한 Wronskian을 계산하려면 함수와 그 도함수를 모두 포함하는 행렬 내에서 동일한 값에 대해 함수를 풀어야합니다. 이것의 예는
W (f, g) (t) = \ begin {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g'(t) \ end {vmatrix}
두 가지 기능에 대한 Wronskian을 제공합니다 (에프과지)는 0보다 큰 단일 값 (티); 두 가지 기능을 볼 수 있습니다에프(티) 및지(티) 행렬의 맨 윗줄과 미분에프'(티) 및지'(티)이 하단 행에 있습니다. Wronskian은 더 큰 세트에도 사용할 수 있습니다. 예를 들어 Wronskian을 사용하여 세 가지 함수를 테스트하는 경우 다음의 함수와 도함수로 행렬을 채울 수 있습니다.에프(티), 지(티) 및h(티).
Wronskian 해결
함수가 행렬로 정렬되면 각 함수를 다른 함수의 미분에 교차 곱하고 두 번째 값에서 첫 번째 값을 뺍니다. 위의 예에서는
W (f, g) (t) = f (t) g '(t)-g (t) f'(t)
최종 답이 0이면 두 함수가 종속되어 있음을 나타냅니다. 답이 0이 아닌 경우 함수는 독립적입니다.
Wronskian 예
이것이 어떻게 작동하는지에 대한 더 나은 아이디어를 제공하기 위해
f (t) = x + 3 \ text {및} g (t) = x-2
값 사용티= 1, 다음과 같이 함수를 해결할 수 있습니다.
f (1) = 4 \ text {및} g (1) = -1
이들은 기울기가 1 인 기본 선형 함수이므로에프(티) 및지(티) 1과 같습니다. 가치를 교차 곱하면
W (f, g) (1) = (4 + 1)-(-1 + 1)
최종 결과는 5입니다. 선형 함수는 모두 동일한 기울기를 갖지만 점이 겹치지 않기 때문에 독립적입니다. 만약에프(티)가 4 대신 -1의 결과를 생성했다면 Wronskian은 의존성을 나타 내기 위해 대신 0의 결과를 제공했을 것입니다.
