모든 수학 학생과 많은 과학 학생은 공부하는 동안 어느 단계에서 다항식을 접하지만 고맙게도 기본을 배우면 다항식을 다루기 쉽습니다. 다항식으로 수행해야하는 주요 작업은 더하기, 빼기, 곱하기 및 나눗셈이 복잡 할 수 있지만 대부분의 경우 기본 사항을 처리 할 수 있습니다. 용이함.
다항식: 정의 및 예
다항식 변수 (또는 둘 이상)를 포함하는 하나 이상의 항, 지수 및 가능하면 상수가있는 대수 표현식을 설명합니다. 변수로 나누기를 포함 할 수없고 음수 또는 분수 지수를 가질 수 없으며 유한 수의 항을 가져야합니다.
이 예는 다항식을 보여줍니다.
x ^ 3 + 2 x ^ 2-9 x-4
그리고 이것은 또 다른 것을 보여줍니다.
xy ^ 2-3 x + y
차수 (가장 높은 거듭 제곱 항에 대한 지수의 합, 예를 들어 3)를 포함하여 다항식을 분류하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 첫 번째 예) 단항식 (1 항), 이항식 (2 항) 및 삼항식 (3 항)과 같이 포함 된 항의 수에 따라 자귀).
다항식 더하기 및 빼기
다항식을 더하고 빼는 것은 "유사"용어를 결합하는 데 달려 있습니다. 유사한 용어는 변수와 지수가 다른 용어와 동일한 용어이지만 곱하는 숫자 (계수)는 다를 수 있습니다. 예를 들면엑스2 그리고 4엑스 2 변수와 지수가 같기 때문에 용어와 같습니다.xy 4 그리고 6xy 4 용어도 마찬가지입니다. 하나,엑스2, 엑스3, 엑스2와이2 과와이2 각 용어에는 변수와 지수의 서로 다른 조합이 포함되어 있기 때문에 용어와 같지 않습니다.
다른 대수 용어와 동일한 방식으로 유사한 용어를 결합하여 다항식을 추가하십시오. 예를 들어, 문제를보십시오.
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + y)
다음을 얻으려면 유사한 용어를 수집하십시오.
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + y
그런 다음 단순히 계수를 더하고 단일 항으로 결합하여 평가합니다.
10 x ^ 3 + 5 x + y
당신은 아무것도 할 수 없습니다와이같은 용어가 없기 때문입니다.
빼기는 동일한 방식으로 작동합니다.
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y)-(2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
먼저, 오른쪽 대괄호의 모든 용어가 왼쪽 대괄호의 용어에서 차감되므로 다음과 같이 작성하십시오.
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y-2 x ^ 4-2 y ^ 2- y
유사한 용어를 결합하고 평가하여 다음을 얻습니다.
(4 x ^ 4-2 x ^ 4) + (3 y ^ 2-2 y ^ 2) + (6 y-y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
다음과 같은 문제의 경우 :
(4 xy + x ^ 2)-(6 xy-3 x ^ 2)
마이너스 기호는 오른쪽 대괄호의 전체 표현식에 적용되므로 3 앞의 두 음수 기호엑스2 추가 기호가됩니다.
(4 xy + x ^ 2)-(6 xy-3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2-6 xy + 3 x ^ 2
그런 다음 이전과 같이 계산하십시오.
다항식 곱하기
곱셈의 분배 속성을 사용하여 다항식을 곱합니다. 간단히 말해서, 첫 번째 다항식의 모든 항에 두 번째 다항식의 모든 항을 곱하십시오. 이 간단한 예를보십시오.
4 x × (2 x ^ 2 + y)
분배 속성을 사용하여이 문제를 해결하면 다음과 같습니다.
\ begin {정렬} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ end {aligned}
같은 방법으로 더 복잡한 문제를 해결하십시오.
\ begin {정렬} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 x ^ 2 + 2 x)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ end {정렬}
이러한 문제는 더 큰 그룹화의 경우 복잡해질 수 있지만 기본 프로세스는 여전히 동일합니다.
다항식 나누기
다항식을 나누는 데 시간이 더 걸리지 만 단계적으로 다룰 수 있습니다. 표현을보세요 :
\ frac {x ^ 2-3 x-10} {x + 2}
먼저 왼쪽에 제수, 오른쪽에 피제수를 사용하여 긴 나눗셈과 같은 식을 작성합니다.
x + 2) \ overline {x ^ 2-3 x-10}
피제수의 첫 번째 항을 제수의 첫 번째 항으로 나누고 그 결과를 나누기 위의 선에 놓습니다. 이 경우엑스2 ÷ 엑스 = 엑스, 그래서 :
\ begin {aligned} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2-3 x-10} \ end {aligned}
이 결과에 전체 제수를 곱하므로이 경우 (엑스 + 2) × 엑스 = 엑스2 + 2 엑스. 이 결과를 부서 아래에 넣으십시오.
\ begin {aligned} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2-3 x-10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ end {aligned}
바로 위에있는 용어에서 새 줄의 결과를 빼고 (기술적으로 기호를 변경하므로 부정적인 결과가 발생하면 대신 추가해야 함)이를 그 아래 줄에 넣습니다. 원래 배당금에서 최종 용어도 아래로 이동하십시오.
\ begin {정렬} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2-3 x-10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0-5 x-10 \ end {aligned}
이제 제수와 새로운 다항식을 맨 아래 줄에 사용하여 프로세스를 반복하십시오. 따라서 제수의 첫 번째 항을 나눕니다 (엑스) 배당금의 첫 번째 기간 (−5엑스) 위에 입력하십시오.
\ begin {정렬} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2-3 x-10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0-5 x-10 \ end {aligned}
이 결과를 곱하십시오 (−5엑스 ÷ 엑스= −5) 원래 제수 (그래서 (엑스 + 2) × −5 = −5 엑스−10) 결과를 새로운 결론에 넣으십시오.
\ begin {정렬} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2-3 x-10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0-5 x-10 \\ & -5 x- 10 \ end {aligned}
그런 다음 다음 줄에서 맨 아래 줄을 빼고 (이 경우 부호를 변경하고 추가) 결과를 새 맨 아래 줄에 넣습니다.
\ begin {정렬} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2-3 x-10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0-5 x-10 \\ & -5 x- 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {aligned}
이제 맨 아래에 0 행이 있으므로 프로세스가 완료되었습니다. 0이 아닌 용어가 남아 있으면 프로세스를 다시 반복합니다. 결과는 맨 위 줄에 있으므로 다음과 같습니다.
\ frac {x ^ 2-3 x-10} {x + 2} = x-5
이 부서와 다른 일부는 가능한 경우 더 간단하게 해결할 수 있습니다. 다항식 인수 배당금.