높은 수준의 모든 대수학 학생은 이차 방정식을 푸는 방법을 배워야합니다. 이들은 2의 거듭 제곱을 포함하지만 더 높지 않은 다항식의 한 유형이며 일반적인 형식을 갖습니다.도끼2 + BX + 씨= 0. 이차 방정식 공식을 사용하거나 인수 분해하거나 제곱을 완성하여 이러한 문제를 해결할 수 있습니다.
TL; DR (너무 긴; 읽지 않음)
먼저 방정식을 풀기 위해 분해를 찾습니다. 하나가 아니라면비계수는 2로 나눌 수 있으며 제곱을 완성합니다. 어느 방법도 쉽지 않은 경우 2 차 방정식 공식을 사용하십시오.
분해를 사용하여 방정식 풀기
분해는 표준 2 차 방정식의 우변이 0이라는 사실을 이용합니다. 즉, 방정식을 괄호 안에 서로 곱한 두 개의 항으로 나눌 수 있다면 각 괄호를 0으로 만드는 것이 무엇인지 생각하여 해를 구할 수 있습니다. 구체적인 예를 들어 보려면 :
x ^ 2 + 6x + 9 = 0
이것을 표준 양식과 비교하십시오.
ax ^ 2 + bx + c = 0
예에서ㅏ = 1, 비= 6 및씨= 9. 인수 분해의 도전은 두 개의 숫자가 더 해져서비자리에있는 숫자를 얻기 위해 함께 발견하고 곱하십시오씨.
따라서 숫자를디과이자형, 다음을 충족하는 숫자를 찾고 있습니다.
d + e = b
또는이 경우비 = 6:
d + e = 6
과
d × e = c
또는이 경우씨 = 9:
d × e = 9
요인 인 숫자를 찾는 데 중점을 둡니다.씨, 그런 다음 함께 추가하여 동일한 지 확인하십시오.비. 번호가 있으면 다음 형식으로 입력하십시오.
(x + d) (x + e)
위의 예에서디과이자형3입니다.
x ^ 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
대괄호를 곱하면 원래 표현식이 다시 나오므로 분해를 확인하는 것이 좋습니다. 이 프로세스를 실행하여 (대괄호의 첫 번째, 내부, 외부 및 마지막 부분을 차례로 곱하여-자세한 내용은 참고 자료 참조) 반대로 볼 수 있습니다.
\ begin {정렬} (x + 3) (x + 3) & = (x × x) + (3 × x) + (x × 3) + (3 × 3) \\ & = x ^ 2 + 3x + 3x + 9 \\ & = x ^ 2 + 6x + 9 \\ \ end {aligned}
Factorization은이 프로세스를 반대로 효과적으로 진행하지만 문제를 해결하는 것은 어려울 수 있습니다. 이차 방정식을 인수 분해하는 올바른 방법입니다.이 방법은 모든 이차 방정식에 적합하지 않습니다. 이유. 종종 인수 분해를 추측 한 다음 확인해야합니다.
문제는 이제 괄호 안의 표현식 중 하나를 값 선택을 통해 0이되도록 만드는 것입니다.엑스. 괄호 중 하나가 0이면 전체 방정식은 0이고 솔루션을 찾은 것입니다. 마지막 단계 [(엑스 + 3) (엑스+ 3) = 0] 대괄호가 0이되는 유일한 시간은엑스= −3. 하지만 대부분의 경우 2 차 방정식에는 두 가지 해가 있습니다.
분해는 다음과 같은 경우 훨씬 더 어렵습니다.ㅏ1과 같지는 않지만 처음에는 간단한 경우에 집중하는 것이 좋습니다.
방정식을 풀기 위해 제곱 완성하기
제곱을 완성하면 쉽게 분해 할 수없는 2 차 방정식을 푸는 데 도움이됩니다. 이 방법은 모든 2 차 방정식에 사용할 수 있지만 일부 방정식은 다른 방정식보다 더 적합합니다. 접근 방식은 표현을 완벽한 제곱으로 만들고 그것을 해결하는 것입니다. 일반적인 완전 사각형은 다음과 같이 확장됩니다.
(x + d) ^ 2 = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2
정사각형을 완성하여 이차 방정식을 풀려면 위의 오른쪽에있는 양식에 식을 넣으십시오. 먼저 숫자를비위치를 2로 한 다음 결과를 제곱하십시오. 따라서 방정식의 경우 :
x ^ 2 + 8x = 0
계수비= 8이므로비÷ 2 = 4 및 (비 ÷ 2)2 = 16.
다음을 얻으려면 양쪽에 이것을 추가하십시오.
x ^ 2 + 8x + 16 = 16
이 형식은 완벽한 정사각형 형식과 일치합니다.디= 4이므로 2디= 8 및디2 = 16. 이는 다음을 의미합니다.
x ^ 2 + 8x + 16 = (x + 4) ^ 2
다음을 얻으려면 이전 방정식에 삽입하십시오.
(x + 4) ^ 2 = 16
이제 방정식을 푸십시오엑스. 다음을 얻으려면 양쪽의 제곱근을 취하십시오.
x + 4 = \ sqrt {16}
양쪽에서 4를 빼면 다음을 얻을 수 있습니다.
x = \ sqrt {16}-4
근은 양수 또는 음수 일 수 있으며 음수 근을 취하면 다음을 얻을 수 있습니다.
x = -4-4 = -8
양의 근을 가진 다른 솔루션을 찾으십시오.
x = 4-4 = 0
따라서 0이 아닌 유일한 해는 −8입니다. 확인을 위해 원래 표현으로 이것을 확인하십시오.
이차 공식을 사용하여 방정식 풀기
2 차 방정식 공식은 다른 방법보다 복잡해 보이지만 가장 신뢰할 수있는 방법이며 모든 2 차 방정식에 사용할 수 있습니다. 이 방정식은 표준 2 차 방정식의 기호를 사용합니다.
ax ^ 2 + bx + c = 0
그리고 다음과 같이 말합니다.
x = \ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}
적절한 숫자를 그 자리에 삽입하고 공식을 통해 풀기 위해 제곱근 항을 빼고 더하는 것을 기억하고 두 답을 기록하십시오. 다음 예의 경우 :
x ^ 2 + 6x + 5 = 0
당신은ㅏ = 1, 비= 6 및씨= 5. 따라서 공식은 다음과 같습니다.
\ begin {정렬} x & = \ frac {-6 ± \ sqrt {6 ^ 2-4 × 1 × 5}} {2 × 1} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {36-20} } {2} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {16}} {2} \\ & = \ frac {-6 ± 4} {2} \ end {aligned}
양수 부호를 사용하면 다음을 얻을 수 있습니다.
\ begin {aligned} x & = \ frac {-6 + 4} {2} \\ & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ end {aligned}
음수 부호를 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
\ begin {aligned} x & = \ frac {-6-4} {2} \\ & = \ frac {-10} {2} \\ & = -5 \ end {aligned}
방정식에 대한 두 가지 해결책은 무엇입니까?
2 차 방정식을 푸는 가장 좋은 방법을 결정하는 방법
다른 것을 시도하기 전에 분해를 찾으십시오. 하나를 발견 할 수 있다면 이것이 2 차 방정식을 푸는 가장 빠르고 쉬운 방법입니다. 두 개의 숫자를 찾고 있다는 것을 기억하십시오.비계수와 곱하여씨계수. 이 방정식의 경우 :
x ^ 2 + 5x + 6 = 0
2 + 3 = 5 및 2 × 3 = 6을 찾을 수 있습니다.
x ^ 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
과엑스= −2 또는엑스 = −3.
인수 분해를 볼 수없는 경우비계수는 분수에 의존하지 않고 2로 나눌 수 있습니다. 그렇다면 제곱을 완성하는 것이 방정식을 푸는 가장 쉬운 방법 일 것입니다.
어느 방법도 적합하지 않다면 공식을 사용하십시오. 이것은 가장 어려운 접근 방식처럼 보이지만 시험을 치르거나 시간이 촉박되면 프로세스의 스트레스를 줄이고 훨씬 빠르게 진행할 수 있습니다.