고전 역학과 양자 역학의 차이는 엄청납니다. 고전 역학에서는 입자와 물체가 명확하게 정의 된 위치를 가지고 있지만 양자 역학에서는 (측정 전) 입자는 파동에 의한 확률로 설명되는 가능한 위치 범위를 가지고 있다고 말할 수 있습니다. 함수.
슈뢰딩거 방정식은 양자 기계 시스템의 파동 함수를 정의하며, 이를 사용하고 해석하는 방법을 배우는 것은 양자 역학 과정에서 중요한 부분입니다. 이 방정식에 대한 해의 가장 간단한 예 중 하나는 상자 안의 입자에 대한 것입니다.
파동 기능
양자 역학에서 입자는파동 기능. 일반적으로 그리스 문자 psi (Ψ) 위치와 시간에 따라 다르며 입자에 대해 알 수있는 모든 것을 포함합니다.
이 함수 제곱의 계수는 입자가 위치에서 발견 될 확률을 알려줍니다.엑스시간에티, 함수가 "정규화"된 경우. 이것은 단지 그것이 확실히 찾을 수 있도록 조정을 의미합니다약간위치엑스당시티모든 위치의 결과가 합산 될 때, 즉 정규화 조건은 다음과 같이 말합니다.
\ int _ {-\ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
파동 함수를 사용하여 시간에 입자의 위치에 대한 기대 값을 계산할 수 있습니다.티, 여기서 기대 값은 얻을 수있는 평균값을 의미합니다.엑스측정을 여러 번 반복 한 경우. 물론, 이것이 주어진 측정에 대해 얻을 수있는 결과라는 의미는 아닙니다. 즉효과적으로무작위이지만 일부 위치는 일반적으로 다른 위치보다 훨씬 더 가능성이 높습니다.
운동량 및 에너지 값뿐만 아니라 다른 많은 "관찰 가능 값"과 같이 기대 값을 계산할 수있는 다른 많은 양이 있습니다.
슈뢰딩거 방정식
슈뢰딩거 방정식은 파동 함수 값과 입자 에너지의 고유 상태를 찾는 데 사용되는 미분 방정식입니다. 방정식은 에너지 보존과 입자의 운동 및 위치 에너지에 대한 표현에서 파생 될 수 있습니다. 작성하는 가장 간단한 방법은 다음과 같습니다.
H (Ψ) = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
하지만 여기는H나타냅니다해밀턴 연산자, 그 자체로는 상당히 긴 표현입니다.
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + V (x)
여기,미디엄질량, ℏ은 플랑크 상수를 2π로 나눈 값입니다.V (엑스)는 시스템의 위치 에너지에 대한 일반적인 기능입니다. Hamiltonian은 두 부분으로 구분됩니다. 첫 번째 항은 시스템의 운동 에너지이고 두 번째 항은 위치 에너지입니다.
양자 역학에서 관찰 가능한 모든 값은 연산자와 연관되어 있으며, 슈뢰딩거 방정식의 시간 독립적 버전에서 Hamiltonian은 에너지 연산자입니다. 그러나 위에 표시된 시간 종속 버전에서 Hamiltonian은 파동 함수의 시간 진화도 생성합니다.
방정식에 포함 된 모든 정보를 결합하여 공간과 시간에서 입자의 진화를 설명하고 가능한 에너지 값도 예측할 수 있습니다.
시간 독립적 인 슈뢰딩거 방정식
시간에 따라 크게 진화하지 않는 상황을 설명하기 위해 방정식의 시간 종속 부분은 파동 함수를 공간 및 시간 부분으로 분리하여 제거 할 수 있습니다.Ψ(엑스, 티) = Ψ(엑스) 에프(티). 그런 다음 시간 종속 부분을 방정식에서 취소 할 수 있으며, 그러면 Schrodinger 방정식의 시간 독립 버전이 남습니다.
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
이자형시스템의 에너지입니다. 이것은 고유 값 방정식의 정확한 형태를 가지며,Ψ(엑스) 고유 함수이고,이자형고유 값이기 때문에 시간에 무관 한 방정식을 종종 양자 역학 시스템의 에너지에 대한 고유 값 방정식이라고합니다. 시간 함수는 다음과 같이 간단히 제공됩니다.
f (t) = e ^ {-iEt / ℏ}
시간 독립 방정식은 시간 진화가 특별히 중요하지 않은 많은 상황에서 계산을 단순화하므로 유용합니다. 이것은“상자 속의 입자”문제와 원자 주변의 전자에 대한 에너지 수준을 결정하는 데 가장 유용한 형태입니다.
상자 속의 입자 (무한 정사각형 우물)
시간 독립적 인 슈뢰딩거 방정식에 대한 가장 간단한 솔루션 중 하나는 무한히 깊은 정사각형 우물 (즉, 무한 전위 우물) 또는 1 차원베이스 상자 길이엘. 물론 이것들은 이론적 인 이상화이지만 자연에 존재하는 많은 복잡한 문제를 설명하지 않고 슈뢰딩거 방정식을 어떻게 푸는 지에 대한 기본적인 아이디어를 제공합니다.
확률 밀도도 0 인 우물 밖에서 위치 에너지를 0으로 설정하면이 상황에 대한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같습니다.
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
그리고이 형식의 방정식에 대한 일반적인 솔루션은 다음과 같습니다.
Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)
그러나 경계 조건을 살펴보면이를 좁힐 수 있습니다. 에 대한엑스= 0 및엑스= L, 즉 상자의 측면이나 우물의 벽면 파동 함수는 0이되어야합니다. 코사인 함수는 인수가 0 일 때 1의 값을 가지므로 경계 조건을 충족하려면 상수비0과 같아야합니다. 이것은 떠난다 :
Ψ (x) = A \ sin (kx)
경계 조건을 사용하여 다음에 대한 값을 설정할 수도 있습니다.케이. sin 함수가 값에서 0이되기 때문에엔π, 여기서 양자 수엔= 0, 1, 2, 3… 등등.엑스 = 엘, 방정식은 다음 경우에만 작동합니다.케이 = 엔π / 엘. 마지막으로 파동 함수를 정규화해야 값을 찾을 수 있다는 사실을 사용할 수 있습니다.ㅏ(가능한 모든 것을 통합하십시오엑스값, 즉 0에서엘, 그런 다음 결과를 1로 설정하고 다시 정렬)하여 최종 표현식에 도달합니다.
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
원래 방정식과이 결과를 사용하여 다음을 해결할 수 있습니다.이자형, 결과 :
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}
사실은엔이 표현은 에너지 수준이양자화, 그래서 그들은 걸릴 수 없습니다어떤값이지만 입자의 질량과 상자의 길이에 따라 특정 에너지 레벨 값의 개별 세트 만 있습니다.
상자 속의 입자 (유한 정사각형 우물)
전위 우물의 벽 높이가 유한 한 경우 동일한 문제가 조금 더 복잡해집니다. 예를 들어, 잠재력이V (엑스) 값을받습니다.V0 포텐셜 우물의 외부와 그 내부에 0 인 경우 파동 함수는 문제가 다루는 세 가지 주요 영역에서 결정될 수 있습니다. 그러나 이것은 더 복잡한 프로세스이므로 여기에서는 전체 프로세스를 실행하는 대신 결과 만 볼 수 있습니다.
우물이엑스= 0 ~엑스 = 엘다시, 지역을 위해엑스<0 해결책은 다음과 같습니다.
Ψ (x) = Be ^ {kx}
지역엑스 > 엘, 그것은:
Ψ (x) = Ae ^ {-kx}
어디
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
우물 내부 영역의 경우 0 <엑스 < 엘, 일반적인 솔루션은 다음과 같습니다.
Ψ (x) = C \ sin (wx) + D \ cos (wx)
어디
w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
그런 다음 경계 조건을 사용하여 상수 값을 결정할 수 있습니다.ㅏ, 비, 씨과디, 우물의 벽에 정의 된 값이있을뿐만 아니라 파동 함수와 1 차 미분은 모든 곳에서 연속적이어야하고 파동 함수는 모든 곳에서 유한해야합니다.
얕은 상자, 좁은 상자 및 기타 여러 특정 상황과 같은 다른 경우에는 근사치와 다양한 솔루션을 찾을 수 있습니다.