두 스칼라 수량의 곱은 스칼라이고 벡터와 스칼라의 곱은 벡터이지만 두 벡터의 곱은 어떻습니까? 스칼라입니까, 아니면 다른 벡터입니까? 대답은 둘 중 하나 일 수 있습니다!
벡터를 곱하는 방법에는 두 가지가 있습니다. 하나는 내적을 취하여 스칼라를 생성하고 다른 하나는 외적을 취하여 다른 벡터를 생성하는 것입니다. 사용할 제품은 특정 시나리오와 찾으려는 수량에 따라 다릅니다.
그만큼내적때때로스칼라 곱또는내부 제품. 기하학적으로 두 벡터 사이의 내적은 동일한 방향 기여 만 계산하는 벡터 값을 곱하는 방법으로 생각할 수 있습니다.
- 참고: 내적은 음수 또는 양수일 수 있지만 그 기호는 방향을 나타내는 것이 아닙니다. 한 차원에서 벡터 방향은 종종 기호로 표시되지만 스칼라 수량은 방향 표시기가 아닌 기호와 연관된 기호를 가질 수도 있습니다. 부채는 이것의 많은 예 중 하나 일뿐입니다.
내적의 정의
벡터의 내적ㅏ = (a엑스, ㅏ와이)과비 = (b엑스, b와이)표준 데카르트 좌표계에서 다음과 같이 정의됩니다.
\ bold {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
벡터의 내적을 그 자체로 취하면 흥미로운 관계가 나타납니다.
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
어디 |ㅏ| 크기 (길이)ㅏ피타고라스 정리에 의해.
코사인의 법칙을 사용하여 다른 내적 공식을 도출 할 수 있습니다. 이것은 다음과 같이 수행됩니다.
0이 아닌 벡터 고려ㅏ과비그들의 차이 벡터와 함께a-b. 세 개의 벡터를 배열하여 삼각형을 만듭니다.
삼각법의 코사인 법칙은 다음과 같이 말합니다.
| \ bold {ab} | ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2-2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta )
그리고 내적의 정의를 사용하여 다음을 얻습니다.
| \ bold {ab} | ^ 2 = (\ bold {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2-2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2-2a_yb_y \\ = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2-2 \ bold {a \ cdot b}
두 표현식을 동일하게 설정하고 단순화하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
\ cancel {| \ bold {a} | ^ 2} + \ cancel {| \ bold {b} | ^ 2}-2 \ bold {a \ cdot b} = \ cancel {| \ bold {a} | ^ 2 } + \ 취소 {| \ bold {b} | ^ 2} -2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ text {} \\\\ boxed {\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)}
이 공식은 기하학적 직관이 작용하도록합니다. 수량 |ㅏ| cos (θ)는 벡터 투영의 크기입니다.ㅏ벡터에비.
따라서 우리는 내적을 한 벡터를 다른 벡터로 투영 한 다음 그 값의 곱으로 생각할 수 있습니다. 즉, 한 벡터와 같은 방향으로 다른 벡터의 양을 곱한 것으로 볼 수 있습니다.
내적의 속성
다음은 유용 할 수있는 내적의 몇 가지 속성입니다.
\ # \ text {1. } \ theta = 0 \ text {이면} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} |
이것은 cos (0) = 1이기 때문입니다.
\ # \ 텍스트 {2. } \ theta = 180 \ text {이면} \ bold {a \ cdot b} =-| \ bold {a} || \ bold {b} |
이것은 cos (180) = -1이기 때문입니다.
\ # \ 텍스트 {3. } \ theta = 90 \ text {이면} \ bold {a \ cdot b} = 0
이것은 cos (90) = 0이기 때문입니다.
- 참고: 0 <
θ
<90, 내적은 양수이고 90 <
θ
<180, 내적은 음수가됩니다.
\ # \ text {4. } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}
이것은 내적 정의에 교환 법칙을 적용한 것으로부터 이어집니다.
\ # \ text {5. } \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
증명:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
\ # \ text {6. } c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}
증명:
c (\ bold {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ 굵게 {b}
내적을 찾는 방법
예 1 :물리학에서 힘에 의한 일에프변위를 겪으면서 물체에디는 다음과 같이 정의됩니다.
W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ bold {F} || \ bold {d} | \ cos (\ theta)
여기서 θ는 힘 벡터와 변위 벡터 사이의 각도입니다.
힘에 의해 수행되는 작업량은 그 힘이 변위에 얼마나 기여했는지를 나타냅니다. 힘이 변위와 같은 방향 (cos (θ) = 0)이면 힘이 최대 기여를합니다. 변위에 수직 인 경우 (cos (Ѳ) = 90), 전혀 기여하지 않습니다. 그리고 변위 (cos (θ) = 180)와 반대이면 음의 기여를합니다.
어린이가 트랙 선에 대해 25도 각도로 5N의 힘을 가하여 트랙을 가로 질러 장난감 기차를 밀고 있다고 가정합니다. 아이가 0.5m를 움직일 때 기차에서 얼마나 많은 일을합니까?
해결책:
F = 5 \ text {N} \\ d = 0.5 \ text {m} \\ \ theta = 25 \ degree \\
작업의 내적 정의를 사용하고 값을 연결하면 다음을 얻을 수 있습니다.
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ times0.5 \ times \ cos (25) = \ boxed {2.27 \ text {J}}
이 구체적인 예에서 변위 방향에 수직 인 힘을 가해도 효과가 없다는 것이 더 분명해졌습니다. 아이가 기차를 트랙에 직각으로 밀면 기차는 트랙을 따라 앞뒤로 움직이지 않습니다. 또한 각도가 감소하고 힘과 변위가 정렬에 가까울수록 기차에서 어린이가 수행하는 작업이 증가한다는 것도 직관적입니다.
예 2 :검정력은 내적을 사용하여 계산할 수있는 물리량의 또 다른 예입니다. 물리학에서 힘은 일을 시간으로 나눈 것과 같지만, 다음과 같이 힘과 속도의 내적으로도 쓸 수 있습니다.
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
어디V속도입니다.
기차를 가지고 노는 어린이의 이전 예를 고려하십시오. 대신에 동일한 힘이 적용되어 기차가 트랙 아래로 2m / s로 이동한다고 들었다면 내적을 사용하여 힘을 찾을 수 있습니다.
P = \ bold {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 \ times2 \ times \ cos (25) = 9.06 \ text {Watts}
예 3 :물리학에서 내적이 사용되는 또 다른 예는 자속의 경우입니다. 자속은 주어진 영역을 통과하는 자기장의 양입니다. 자기장의 내적비지역과 함께ㅏ. (영역 벡터의 방향은표준, 또는 영역의 표면에 수직입니다.)
\ Phi = \ bold {B \ cdot A}
0.02 Tesla의 필드가 반경 10cm의 와이어 루프를 통과하여 법선과 30 도의 각도를 만든다고 가정합니다. 플럭스는 무엇입니까?
\ Phi = \ bold {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0.02 \ times (\ pi \ times0.1 ^ 2) \ times \ cos (30) = 0.000544 \ text {Wb}
이 플럭스는 필드 값을 변경하거나 루프 영역을 변경하거나 루프 또는 필드 소스를 회전하여 각도를 조정하면 전류가 루프에서 유도되어 전기!
각도가 직관적 인 방식으로 어떻게 관련되는지 다시 한 번 주목하십시오. 각도가 90도이면 필드가 영역과 동일한 평면을 따라 놓여 있고 필드 라인이 루프를 통과하지 않아 플럭스가 발생하지 않음을 의미합니다. 플럭스의 양은 필드와 법선 사이의 각도가 0에 가까울수록 증가합니다. 내적은 우리가 표면에 수직 인 방향에있는 필드의 양을 결정할 수있게하여 플럭스에 기여합니다.
벡터 투영과 내적
이전 섹션에서 내적은 한 벡터를 다른 벡터에 투영 한 다음 그 크기를 곱하는 방법으로 생각할 수 있다고 언급했습니다. 따라서 벡터 투영 공식이 내적에서 파생 될 수 있다는 것은 놀라운 일이 아닙니다.
벡터를 투사하려면ㅏ벡터에비, 우리는 내적을 취합니다.ㅏ와 함께단위 벡터방향으로비, 그런 다음이 스칼라 결과에 동일한 단위 벡터를 곱합니다.
단위 벡터는 특정 방향에있는 길이 1의 벡터입니다. 벡터 방향의 단위 벡터비단순히 벡터비크기로 나눈 값 :
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
따라서이 투영은 다음과 같습니다.
\ text {} \ bold {a} \ text {투영} \ bold {b} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ Big) \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b}
고차원의 내적
벡터가 더 높은 차원에 존재하는 것처럼 내적도 마찬가지입니다. 기차를 다시 밀고있는 아이의 예를 상상해보십시오. 그녀가 트랙의 측면에 비스듬히 아래쪽으로 밀고 있다고 가정합니다. 표준 좌표계에서 힘과 변위 벡터는 3 차원으로 표현되어야합니다.
에엔내적은 다음과 같이 정의됩니다.
\ bold {a \ cdot b} = \ overset {n} {\ underset {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
이전의 동일한 내적 속성은 모두 여전히 적용되며 코사인 법칙은 다시 한 번 관계를 제공합니다.
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)
각 벡터의 크기는 다음을 통해 발견되며 다시 피타고라스 정리와 일치합니다.
| \ bold {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
3 차원에서 내적을 찾는 방법
예 1 :내적은 두 벡터 사이의 각도를 찾을 때 특히 유용합니다. 예를 들어, 우리가ㅏ= (2, 3, 2) 및비= (1, 4, 0). 이 두 벡터를 3 공간으로 스케치하더라도 지오메트리 주위로 머리를 감싸기가 매우 어려울 수 있습니다. 그러나 수학은 다음과 같은 사실을 사용하여 매우 간단합니다.
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ implies \ theta = \ cos ^ {-1} \ Big (\ frac {\ 굵게 {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big)
그런 다음 내적을 계산ㅏ과비:
\ bold {a \ cdot b} = 2 \ times1 + 3 \ times4 + 2 \ times0 = 14
그리고 각 벡터의 크기를 계산합니다.
| \ bold {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12
마지막으로 모든 것을 연결하면 다음을 얻을 수 있습니다.
\ theta = \ cos ^ {-1} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {14} {4.12 \ times 4.12} \ Big) = \ boxed {34.4 \ degree}
예 2 :양전하는 3 차원 공간의 좌표 점 (3, 5, 4)에 있습니다. 벡터의 방향을 가리키는 선을 따라 어떤 지점에서ㅏ= (6, 9, 5) 전기장이 가장 큰가요?
솔루션: 전기장 강도가 거리와 어떻게 관련되는지에 대한 지식에서 우리는 양전하에 가장 가까운 라인에서 필드가 될 위치입니다 최강. 내적에 대한 지식에서 우리는 여기서 투영 공식을 사용하는 것이 합리적이라고 추측 할 수 있습니다. 이 공식은 우리가 찾고있는 지점에 정확히 팁이있는 벡터를 제공해야합니다.
다음을 계산해야합니다.
\ text {Projection of} (3, 5, 4) \ text {on} \ bold {a} = \ Big ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ Big) \ bold {a}
이렇게하려면 먼저 찾기 |ㅏ|2:
| \ bold {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
그런 다음 내적 :
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 \ times6 + 5 \ times9 + 4 \ times5 = 83
이것을 |ㅏ|2 83/142 = 0.585를 제공합니다. 그런 다음이 스칼라에 다음을 곱합니다.ㅏ제공합니다 :
0.585 \ bold {a} = 0.585 \ times (6,9,5) = (3.51,5.27,2.93)
따라서 필드가 가장 강한 선을 따라있는 지점은 (3.51, 5.27, 2.93)입니다.