제곱근 함수를 통합하는 방법

통합 함수는 미적분학의 핵심 응용 프로그램 중 하나입니다. 때로는 다음과 같이 간단합니다.

F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx

이 유형의 비교적 복잡한 예에서 무한 적분을 통합하기 위해 기본 공식 버전을 사용할 수 있습니다.

\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C

어디상수입니다.

따라서이 예에서는

\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C

기본 제곱근 함수 통합

표면적으로 제곱근 함수를 통합하는 것은 어색합니다. 예를 들어 다음과 같은 이유로 방해받을 수 있습니다.

F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x-7} dx

그러나 제곱근을 지수 1/2로 표현할 수 있습니다.

\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}

따라서 적분은 다음과 같습니다.

\ int (x ^ {3/2} + 2x-7) dx

위에서 일반적인 공식을 적용 할 수 있습니다.

\ begin {정렬} \ int (x ^ {3/2} + 2x-7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg)-7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2-7x \ end {aligned}

더 복잡한 제곱근 함수의 통합

때로는 다음 예와 같이 근호 기호 아래에 두 개 이상의 용어가있을 수 있습니다.

F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x-3}} dx

당신이 사용할 수있는-계속하려면 대체. 여기, 당신은 설정분모의 수량과 같습니다.

u = \ sqrt {x-3}

이것을 위해 이것을 해결하십시오엑스양쪽을 제곱하고 빼서 :

u ^ 2 = x-3 \\ x = u ^ 2 + 3

이를 통해 dx를 얻을 수 있습니다.도함수를 취함으로써엑스​:

dx = (2u) du

원래의 적분으로 다시 대체하면

\ begin {aligned} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {aligned}

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이제 기본 공식을 사용하여이를 통합 할 수 있습니다.측면에서엑스​:

\ begin {aligned} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x- 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x-3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x-3) ^ {(3/2)} + 8 (x-3) ^ {(1/2)} + C \ end {정렬}

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