두 숫자의 최대 공약수 (GCF)를 찾는 것은 수학의 많은 상황에서 유용하지만 특히 분수를 단순화 할 때 유용합니다. 이 문제로 어려움을 겪고 있거나 공통 분모를 찾는 경우 공통 요소를 찾는 두 가지 방법을 배우면 계획 한 작업을 달성하는 데 도움이됩니다. 하지만 먼저 요인의 기본에 대해 배우는 것이 좋습니다. 그런 다음 공통 요인을 찾기위한 두 가지 접근 방식을 살펴볼 수 있습니다. 마지막으로 지식을 적용하여 분수를 단순화하는 방법을 살펴볼 수 있습니다.
요인은 무엇입니까?
요인은 다른 숫자를 생성하기 위해 함께 곱한 숫자입니다. 예를 들어 2 × 3 = 6이므로 2와 3은 6의 인수입니다. 마찬가지로 3 x 3 = 9이므로 3과 3은 9의 인수입니다. 아시다시피 소수는 자신과 1 외에 다른 요인이없는 숫자입니다. 따라서 3은 소수입니다. 왜냐하면 함께 곱하여 3을 답으로 줄 수있는 두 개의 정수 (정수)는 3과 1이기 때문입니다. 같은 방식으로 7은 소수이고 13도 마찬가지입니다.
이 때문에 숫자를 '주요 요인'으로 나누는 것이 도움이되는 경우가 많습니다. 이것은 다른 숫자의 모든 소수 인자를 찾는 것을 의미합니다. 기본적으로 숫자를 기본 "구성 요소"로 나눕니다. 두 숫자의 가장 큰 공약수를 찾고 제곱을 단순화 할 때도 매우 중요합니다. 뿌리.
가장 큰 공통 요소 찾기: 방법 1
두 숫자의 가장 큰 공약수를 찾는 가장 간단한 방법은 각 숫자의 모든 요소를 나열하고 두 숫자가 공유하는 가장 높은 숫자를 찾는 것입니다. 45와 60의 가장 높은 공약수를 찾고 싶다고 가정 해보십시오. 먼저 45를 생성하기 위해 함께 곱할 수있는 다른 숫자를보십시오.
시작하는 가장 쉬운 방법은 소수의 경우에도 작동 할 것으로 알고있는 두 가지로 시작하는 것입니다. 이 경우 1 × 45 = 45를 알고 있으므로 1과 45는 45의 인수입니다. 이것들은 45의 첫 번째와 마지막 요소이므로 거기에서 채울 수 있습니다. 다음으로 2가 요인인지 확인합니다. 짝수는 2로 나눌 수 있고 홀수는 나눌 수 없기 때문에 쉽습니다. 그래서 우리는 2가 45의 인수가 아니라는 것을 압니다. 3은 어때? 3 × 15 = 45이기 때문에 3이 45의 요소임을 알 수 있어야합니다. 예를 들어 3 × 12 = 36이라는 것을 알 수 있으며 여기에 3을 더하면 45).
다음으로 4는 45의 계수입니까? 아니오 – 11 × 4 = 44를 알고 있으므로 그럴 수 없습니다! 다음으로 5는 어떻습니까? 이것은 0 또는 5로 끝나는 숫자는 5로 나눌 수 있기 때문에 또 다른 쉬운 방법입니다. 이것으로 5 × 9 = 45를 쉽게 찾을 수 있습니다. 그러나 7 × 6 = 42 및 8 × 6 = 48이기 때문에 6은 좋지 않습니다. 여기에서 7과 8이 45의 인수가 아님을 알 수 있습니다. 9가 이미 알고 있고 10과 11이 요인이 아님을 쉽게 알 수 있습니다. 이 과정을 계속하면 15가 요인이지만 다른 것은 없다는 것을 알 수 있습니다.
따라서 45의 인수는 1, 3, 5, 9, 15 및 45입니다.
60의 경우 똑같은 프로세스를 실행합니다. 이번에는 숫자가 짝수이고 (2가 요인임을 알 수 있습니다) 10으로 나눌 수 있습니다 (따라서 5와 10이 둘 다 요인입니다). 프로세스를 다시 수행하면 60의 인수가 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 및 60임을 알 수 있습니다.
두 목록을 비교하면 15가 45와 60의 가장 큰 공약수라는 것을 알 수 있습니다. 이 방법은 시간이 많이 걸릴 수 있지만 간단하고 항상 작동합니다. 또한 곧바로 찾을 수있는 높은 공약수에서 시작한 다음 각 숫자에서 더 높은 요소를 찾을 수도 있습니다.
가장 큰 공약수 찾기: 방법 2
두 숫자에 대한 GCF를 찾는 두 번째 방법은 소인수를 사용하는 것입니다. 소인수 분해 과정은 모든 요인을 찾는 것보다 조금 더 쉽고 구조화되어 있습니다. 42와 63의 과정을 살펴 보겠습니다.
소인수 분해 과정은 기본적으로 소수만 남을 때까지 숫자를 분해하는 것입니다. 가장 작은 소수 (2 개)부터 시작하여 거기서부터 작업하는 것이 가장 좋습니다. 따라서 42의 경우 2 × 21 = 42라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그런 다음 21에서 작업하십시오. 2가 요인입니까? 아뇨 3 살이에요? 예! 3 × 7 = 21이고 3과 7은 모두 소수입니다. 이것은 42의 소인수가 2, 3, 7임을 의미합니다. 첫 번째 "휴식"은 2를 사용하여 21에 도달했고 두 번째 "휴식"은 이것을 3과 7로 나눕니다. 모든 요소를 곱하고 원래 숫자를 확인하여이를 확인할 수 있습니다: 2 × 3 × 7 = 42.
63의 경우 2는 요인이 아니지만 3은 3 × 21 = 63이기 때문입니다. 다시, 21은 3과 7로 나뉩니다 – 둘 다 소수 – 그래서 여러분은 소인수를 압니다! 확인하면 필요에 따라 3 × 3 × 7 = 63이 표시됩니다.
두 숫자가 공통으로 갖는 소인수를보고 가장 높은 공약수를 찾습니다. 이 경우 42에는 2, 3 및 7이 있고 63에는 3, 3 및 7이 있습니다. 공통점은 3 개와 7 개입니다. 가장 높은 공약수를 찾으려면 공약수를 모두 곱하십시오. 이 경우 3 × 7 = 21이므로 21은 42와 63의 최대 공약수입니다.
이전 예제도이 방법으로 더 빨리 해결할 수 있습니다. 45는 3으로 나눌 수 있고 (3 × 15 = 45) 15도 3으로 나눌 수 있기 때문에 (3 × 5 = 15), 45의 소인수는 3, 3, 5입니다. 60의 경우 2로 나눌 수 있습니다 (2 × 30 = 60), 30도 2로 나눌 수 있습니다 (2 × 15 = 30). 그러면 15가 남습니다. 우리는 3과 5를 소인수로 알고 있습니다. 2, 2, 3, 5를 남깁니다. 두 목록을 비교하면 3 개와 5 개가 공통 소인수이므로 최대 공약수는 3 × 5 = 15입니다.
세 개 이상의 공통 소인수가있는 경우 동일한 방법으로 모두 곱하여 최대 공약수를 찾습니다.
공통 요인으로 분수 단순화
32/96과 같은 분수가 표시되는 경우 분수를 단순화하는 방법을 찾을 수없는 한 매우 복잡한 이후의 모든 계산을 수행 할 수 있습니다. 32와 96의 가장 낮은 공약수를 찾으면 더 간단한 분수를 얻기 위해 둘 다 나눌 숫자를 알 수 있습니다. 이 경우 :
32 = 2 × 16 \\ 16 = 2 × 2 × 2 × 2 \\ \ text {그래서} 32 = 2 ^ 5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
96의 경우 프로세스는 다음을 제공합니다.
96 = 48 × 2 \\ 48 = 24 × 2 \\ 24 = 12 × 2 \\ 12 = 6 × 2 \\ 6 = 3 × 2 \\ \ text {그래서} 96 = 2 ^ 5 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
25 = 32는 가장 높은 공약수입니다. 분수의 두 부분을 모두 32로 나누면 다음과 같습니다.
\ frac {32} {96} = \ frac {1} {3}
공통 분모를 찾는 것도 비슷한 과정입니다. 분수 15/45와 40/60을 더해야한다고 상상 해보세요. 첫 번째 예에서 15가 45와 60의 가장 높은 공약수라는 것을 알고 있으므로 즉시 5/15 및 10/15로 표현할 수 있습니다. 3 × 5 = 15이고 두 분자도 5로 나눌 수 있으므로 두 분수의 두 부분을 모두 5로 나누어 1/3과 2/3을 얻을 수 있습니다. 이제 추가하고 확인하기가 훨씬 쉽습니다.
\ frac {15} {45} + \ frac {40} {60} = 1