수학에서 반례는 진술을 반증하는 데 사용됩니다. 진술이 사실임을 증명하려면 항상 사실임을 증명하는 증명을 작성해야합니다. 예를 제시하는 것만으로는 충분하지 않습니다. 증명을 작성하는 것에 비해 반례를 작성하는 것이 훨씬 간단합니다. 진술이 사실이 아님을 표시하려면 진술이 거짓 인 시나리오의 한 가지 예만 제공하면됩니다. 대수학의 대부분의 반례는 숫자 조작을 포함합니다.
두 종류의 수학
교정 작성 및 반례 찾기는 수학의 기본 클래스 중 두 가지입니다. 대부분의 수학자들은 새로운 정리와 속성을 개발하기 위해 교정에 집중합니다. 진술이나 추측이 사실임을 입증 할 수없는 경우, 수학자들은 반례를 제시하여이를 반증합니다.
반례는 구체적이다
변수와 추상 표기법을 사용하는 대신 숫자 예제를 사용하여 인수를 반증 할 수 있습니다. 대수학에서 대부분의 반례는 다른 양수와 음수 또는 홀수와 짝수, 극단적 인 경우 및 0과 1과 같은 특수 숫자를 사용한 조작을 포함합니다.
하나의 반례로 충분합니다
반례의 철학은 한 시나리오에서 진술이 사실이 아닌 경우 진술이 거짓이라는 것입니다. 수학이 아닌 예는 "톰은 거짓말을 한 적이 없습니다."입니다. 이 진술이 사실임을 보여주기 위해서는 Tom이 한 모든 진술을 추적하여 Tom이 거짓말을 한 적이 없다는 "증거"를 제공해야합니다. 그러나이 진술을 반증하려면 Tom이 말한 거짓말 하나만 보여 주면됩니다.
유명한 반례
"모든 소수는 홀수입니다." 3보다 큰 모든 소수를 포함하여 거의 모든 소수는 홀수이지만 "2"는 짝수 인 소수입니다. 이 진술은 거짓입니다. "2"는 관련 반례입니다.
"빼기는 교환 적입니다." 덧셈과 곱셈은 모두 교환 적이며 순서에 관계없이 수행 할 수 있습니다. 즉, 실수 a와 b에 대해 a + b = b + a 및 a * b = b * a입니다. 그러나 뺄셈은 교환이 아닙니다. 이를 증명하는 반례: 3-5는 5-3과 같지 않습니다.
"모든 연속 기능은 구별 할 수 있습니다." 절대 함수 | x | 모든 양수와 음수에 대해 연속적입니다. 그러나 x = 0에서는 미분 할 수 없습니다. | x | 이후 이 반례는 모든 연속 함수를 미분 할 수있는 것은 아니라는 것을 증명합니다.