진자는 물리학 자들이 다른 물체를 설명하는 데 사용하는 흥미로운 속성을 가지고 있습니다. 예를 들어, 행성 궤도는 유사한 패턴을 따르고 스윙 세트에서 스윙하는 것은 마치 진자에있는 것처럼 느낄 수 있습니다. 이러한 속성은 진자의 움직임을 제어하는 일련의 법칙에서 비롯됩니다. 이 법칙을 배우면 물리학과 운동의 기본 원리를 이해하기 시작할 수 있습니다.
진자의 움직임은 다음을 사용하여 설명 할 수 있습니다.
\ theta (t) = \ theta_ {max} \ cos {\ frac {2 \ pi t} {T}}
어느θ문자열과 중앙 아래 수직선 사이의 각도를 나타냅니다.티시간을 나타내고티진자 운동의 완전한 한주기가 발생하는 데 필요한 기간입니다 (다음으로 측정 됨).1 / f), 진자 운동의.
단순 조화 운동
단순 조화 운동, 또는 물체의 속도가 평형으로부터의 변위량에 비례하여 어떻게 진동 하는지를 설명하는 모션은 진자의 방정식을 설명하는 데 사용될 수 있습니다. 진자의 보브 스윙은 앞뒤로 움직일 때 그에 작용하는이 힘에 의해 계속 움직입니다.
•••Syed Hussain Ather
진자 운동을 지배하는 법칙은 중요한 재산의 발견으로 이어졌습니다. 물리학 자들은 힘을 수직 및 수평 구성 요소로 나눕니다. 진자 운동에서진자에 직접 작용하는 세 가지 힘: 봅의 질량, 중력 및 현의 장력. 질량과 중력은 모두 수직으로 아래쪽으로 작용합니다. 진자가 위나 아래로 움직이지 않기 때문에 현 장력의 수직 구성 요소는 질량과 중력을 상쇄합니다.
이것은 진자의 질량이 그 운동과 관련이 없다는 것을 보여 주지만 수평 현 장력은 그렇습니다. 단순 조화 운동은 원형 운동과 유사합니다. 위의 그림과 같이 원형 경로에서 움직이는 물체는 해당 원형 경로에서 취하는 각도와 반경을 결정하여 설명 할 수 있습니다. 그런 다음 원의 중심, 물체의 위치, x와 y 방향의 변위 사이의 직각 삼각형 삼각법을 사용하여 방정식을 찾을 수 있습니다.x = rsin (θ)과y = rcos (θ).
단순 조화 운동에서 물체의 1 차원 방정식은 다음과 같이 주어진다.
x = r cos (ωt).추가로 대체 할 수 있습니다.ㅏ...에 대한아르 자형어느ㅏ이다진폭, 객체의 초기 위치에서 최대 변위입니다.각속도ω시간과 관련하여티이 각도를 위해θ~에 의해 주어진다θ = ωt. 각속도와 주파수를 연관시키는 방정식을 대체하면에프, ω = 2πf,이 원형 운동을 상상할 수 있습니다. 진자의 일부가 앞뒤로 흔들리면 그 결과 단순 조화 운동 방정식은 다음과 같습니다.
x = A \ cos {2 \ pi ft}
단순 진자의 법칙
•••Syed Hussain Ather
스프링의 질량과 같은 진자는 다음의 예입니다.단순 고조파 발진기: 진자의 변위 정도에 따라 증가하는 복원력이 있으며, 그 운동은단순 고조파 발진기 방정식
\ theta (t) = \ theta_ {max} \ cos {\ frac {2 \ pi t} {T}}
어느θ문자열과 중앙 아래 수직선 사이의 각도를 나타냅니다.티시간을 나타내고티이다기간, 진자 운동의 완전한 한주기가 발생하는 데 필요한 시간 (에 의해 측정 됨)1 / f), 진자 운동의.
θ최대진자의 움직임 동안 진동하는 각도의 최대 값을 정의하는 또 다른 방법이며 진자의 진폭을 정의하는 또 다른 방법입니다. 이 단계는 "Simple Pendulum Definition"섹션 아래에 설명되어 있습니다.
단순한 진자의 법칙의 또 다른 의미는 일정한 길이의 진동주기가 줄 끝에있는 물체의 크기, 모양, 질량 및 재질과 무관하다는 것입니다. 이것은 간단한 진자 유도와 그 결과로 나타나는 방정식을 통해 명확하게 나타납니다.
단순 진자 유도
에 대한 방정식을 결정할 수 있습니다.단순 진자, 진자의 운동 방정식으로 시작하는 일련의 단계에서 단순 고조파 발진기에 의존하는 정의. 진자의 중력은 진자의 움직임의 힘과 같으므로 진자 질량과 함께 뉴턴의 제 2 법칙을 사용하여 서로 동일하게 설정할 수 있습니다.미디엄, 문자열 길이엘, 각도θ,중력 가속도지및 시간 간격티.
•••Syed Hussain Ather
관성 모멘트와 같은 뉴턴의 제 2 법칙을 설정합니다.I = mr2약간의 질량미디엄및 원 운동의 반경 (이 경우 줄의 길이)아르 자형각 가속도의 배α.
- ΣF = Ma: 뉴턴의 두 번째 법칙은 순 힘이ΣF물체는 물체의 질량에 가속도를 곱한 것과 같습니다.
- Ma = 나는 α: 중력 가속도 (-Mg sin (θ) L)회전력과 동일
- -Mg sin (θ) L = 나는 α: 중력에 의한 수직력의 방향을 얻을 수 있습니다.-Mg) 가속도를 다음과 같이 계산하여죄 (θ) L만약sin (θ) = d / L수평 변위디및 각도θ 방향을 설명합니다.
- -Mg sin (θ) L = ML2 α: 문자열 길이 L을 반경으로 사용하여 회 전체의 관성 모멘트를 방정식으로 대체합니다.
- -Mg sin (θ) L = -ML2디2θ / dt: 시간에 대한 각도의 2 차 도함수를 대입하여 각가속도를 설명합니다.α.이 단계에는 미적분 및 미분 방정식이 필요합니다.
- 디2θ / dt2 + (g / L) sinθ = 0: 방정식의 양변을 재정렬하여 얻을 수 있습니다.
- 디2θ / dt2 + (g / L) θ = 0: 근사 할 수 있습니다죄 (θ)같이θ매우 작은 진동 각도에서 단순한 진자의 목적을 위해
- θ (t) = θ최대cos (t (L / g)2): 운동 방정식은이 해법을 가지고 있습니다. 이 방정식의 2 차 도함수를 취하고 7 단계를 구하여 확인할 수 있습니다.
간단한 진자 유도를 만드는 다른 방법이 있습니다. 각 단계의 의미를 이해하여 관련성을 확인하세요. 이러한 이론을 사용하여 간단한 진자 운동을 설명 할 수 있지만, 단순한 진자 이론에 영향을 미칠 수있는 다른 요인도 고려해야합니다.
진자 운동에 영향을 미치는 요인
이 도출의 결과를 비교하면
\ theta (t) = \ theta_ {max} \ cos {t \ bigg (\ frac {L} {g} \ bigg) ^ 2}
단순 고조파 발진기의 방정식비y를 서로 동일하게 설정하면 기간 T에 대한 방정식을 유도 할 수 있습니다.
T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {g} {L}}
이 방정식은 질량에 의존하지 않습니다.미디엄진자의 진폭, 진폭θ최대, 또는 시간티. 즉, 주기는 질량, 진폭 및 시간과 무관하지만 대신 스트링의 길이에 의존합니다. 진자의 움직임을 간결하게 표현할 수 있습니다.
진자의 길이 예
일정 기간의 방정식을 사용하면 방정식을 재정렬하여
L = \ frac {(T / 2 \ pi) ^ 2} {g}
그리고 1 초를티과9.8m / s2...에 대한지얻기 위해L =0.0025m. 단순 진자 이론의 이러한 방정식은 끈의 길이가 마찰과 질량이 없다고 가정합니다. 이러한 요소를 고려하려면 더 복잡한 방정식이 필요합니다.
단순 진자 정의
진자를 뒤로 당길 수 있습니다.θ스프링처럼 진동하는 것을보기 위해 앞뒤로 스윙하게합니다. 단순 진자의 경우 단순 고조파 발진기의 운동 방정식을 사용하여 설명 할 수 있습니다. 운동 방정식은 더 작은 각도 값과진폭, 최대 각도입니다. 단순 진자 모델은 다음과 같은 근사치에 의존하기 때문입니다.죄 (θ) ≈ θ일부 진자 각도θ.값 각도와 진폭이 약 20 도보 다 커지면이 근사값도 제대로 작동하지 않습니다.
직접 시도해보십시오. 큰 초기 각도로 흔들리는 진자θ간단한 고조파 발진기를 사용하여 설명 할 수 있도록 정기적으로 진동하지 않습니다. 더 작은 초기 각도에서θ, 진자는 규칙적인 진동 운동에 훨씬 더 쉽게 접근합니다. 진자의 질량은 운동에 영향을 미치지 않기 때문에 물리학 자들은 모든 진자의 진동주기가 동일 함을 입증했습니다. 각도 – 가장 높은 지점에서 진자의 중심과 정지 위치에서 진자의 중심 사이의 각도 – 20 미만 도.
움직이는 진자의 모든 실제 목적을 위해 진자는 결국 감속하고 다음으로 인해 정지합니다. 진자와 공기 사이의 공기 저항으로 인한 것뿐만 아니라 현과 위의 고정 지점 사이의 마찰 주위.
진자 운동의 실제 예에서주기와 속도는 이러한 마찰 및 공기 저항의 예를 유발하는 사용 된 재료 유형에 따라 달라집니다. 이러한 힘을 고려하지 않고 이론적 진자 진동 동작에 대한 계산을 수행하면 무한 진동하는 진자를 고려합니다.
진자의 뉴턴 법칙
뉴턴의 첫 번째 법칙은 힘에 반응하는 물체의 속도를 정의합니다. 법에 따르면 물체가 특정 속도와 직선으로 움직이면 다른 힘이 작용하지 않는 한 계속해서 그 속도와 직선으로 계속 움직입니다. 공을 똑바로 앞으로 던진다 고 상상해보십시오. 공기 저항과 중력이 작용하지 않으면 공이 계속해서 지구를 돌아 다닐 것입니다. 이 법칙은 진자가 위아래가 아닌 좌우로 움직이기 때문에 그것에 작용하는 위아래 힘이 없다는 것을 보여줍니다.
뉴턴의 두 번째 법칙은 중력을 진자에서 위로 당기는 줄의 힘과 동일하게 설정하여 진자에 대한 순 힘을 결정하는 데 사용됩니다. 이러한 방정식을 서로 동일하게 설정하면 진자의 운동 방정식을 도출 할 수 있습니다.
뉴턴의 세 번째 법칙은 모든 행동이 동일한 힘의 반응을 갖는다 고 말합니다. 이 법칙은 질량과 중력이 현 장력 벡터의 수직 성분을 상쇄하지만 수평 성분을 상쇄하는 것은 없다는 것을 보여주는 첫 번째 법칙과 함께 작동합니다. 이 법칙은 진자에 작용하는 힘이 서로 상쇄 될 수 있음을 보여줍니다.
물리학 자들은 뉴턴의 첫 번째, 두 번째 및 세 번째 법칙을 사용하여 수평 끈 장력이 질량이나 중력에 관계없이 진자를 움직인다는 것을 증명합니다. 단순 진자의 법칙은 뉴턴의 세 가지 운동 법칙의 개념을 따릅니다.