რიცხვის კვადრატული ფესვი არის მნიშვნელობა, რომელიც თავისით გამრავლებით იძლევა თავდაპირველ რიცხვს. მაგალითად, 0-ის კვადრატული ფესვი არის 0, 100-ის კვადრატული ფესვი არის 10 და 50-ის კვადრატული ფესვი არის 7.071. ზოგჯერ შეგიძლიათ გაარკვიოთ, ან უბრალოდ გაიხსენოთ რიცხვის კვადრატული ფესვი, რომელიც თავისთავად არის "სრულყოფილი კვადრატი", რომელიც წარმოადგენს თავისზე გამრავლებული მთელი რიცხვის პროდუქტს; სწავლის პროცესში პროგრესირებისას, ამ რიცხვების გონებრივი სია შეგიქმნით (1, 4, 9, 25, 36).. .).
კვადრატული ფესვების ჩათვლით პრობლემები შეუცვლელია ინჟინერიაში, ანგარიშში და პრაქტიკულად თანამედროვე სამყაროში. მიუხედავად იმისა, რომ მარტივად შეგიძლიათ განათავსოთ კვადრატული ფესვის განტოლების კალკულატორი ინტერნეტით (იხილეთ რესურსები მაგალითისთვის), კვადრატული ფესვის განტოლების ამოხსნა მნიშვნელოვანია ალგებრის ცოდნა, რადგან ეს საშუალებას გაძლევთ გაეცნოთ რადიკალების გამოყენებას და იმუშაოთ მრავალრიცხოვან პრობლემურ ტიპებთან კვადრატული ფესვების სფეროდან თავისთავად.
სკვერები და კვადრატული ფესვები: ძირითადი თვისებები
ის ფაქტი, რომ ორი უარყოფითი რიცხვის ერთად გამრავლება იძლევა დადებით რიცხვს, მნიშვნელოვანია კვადრატული ფესვების სამყაროში, რადგან ეს გულისხმობს რომ პოზიტიურ რიცხვებს რეალურად აქვთ ორი კვადრატული ფესვი (მაგალითად, 16 – ის კვადრატული ფესვები არის 4 და −4, მაშინაც კი, თუ მხოლოდ პირველი არის ინტუიციური). ანალოგიურად, უარყოფით რიცხვებს არ აქვთ ნამდვილი კვადრატული ფესვები, რადგან არ არსებობს რეალური რიცხვი, რომელიც იღებს უარყოფით მნიშვნელობას, როდესაც გამრავლდება თავისზე. ამ პრეზენტაციაში უარყოფილი იქნება დადებითი რიცხვის კვადრატული ფესვი, ასე რომ "361 კვადრატული ფესვი" შეიძლება იქნას აღებული როგორც "19" ვიდრე "−19 და 19".
ასევე, კვადრატული ფესვის მნიშვნელობის შეფასებისას, როდესაც კალკულატორი არ არის მოსახერხებელი, მნიშვნელოვანია გააცნობიეროს, რომ კვადრატებისა და კვადრატული ფესვების მონაწილეობით ფუნქციები არ არის წრფივი. ამის შესახებ უფრო მეტს ნახავთ გრაფიკების შესახებ განყოფილებაში მოგვიანებით, მაგრამ უხეში მაგალითისთვის უკვე დააკვირდით, რომ 100 – ის კვადრატული ფესვი 10 არის და 0 – ის კვადრატული ფესვი 0 არის 0. დანახვაზე, ამან შეიძლება გამოიწვიოს იმის გამოცნობა, რომ 50 – ის კვადრატული ფესვი (რაც შუა ნაწილშია 0 – დან 100 – მდე) უნდა იყოს 5 (რაც შუალედშია 0 – დან 10 – მდე). მაგრამ თქვენ უკვე ისწავლეთ, რომ 50 – ის კვადრატული ფესვი არის 7.071.
დაბოლოს, თქვენ შესაძლოა გაანალიზეთ იდეა, რომ ორი რიცხვის ერთად გამრავლება იძლევა რიცხვს უფრო მეტია, ვიდრე თვით, რაც გულისხმობს, რომ რიცხვების კვადრატული ფესვები ყოველთვის უფრო მცირეა ვიდრე ორიგინალი ნომერი Საქმე მაგაში არაა! 0-დან 1-მდე რიცხვს აქვს კვადრატული ფესვები, და ყოველ შემთხვევაში, კვადრატული ფესვი უფრო მეტია, ვიდრე ორიგინალი. ეს ყველაზე ადვილად ნაჩვენებია წილადების გამოყენებით. მაგალითად, 16/25, ან 0.64 აქვს სრულყოფილი კვადრატი როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში. ეს ნიშნავს, რომ ფრაქციის კვადრატული ფესვი არის მისი ზედა და ქვედა კომპონენტების კვადრატული ფესვი, რომელიც არის 4/5. ეს უდრის 0.80-ს, მეტი რიცხვი ვიდრე 0.64-ს.
კვადრატული ფესვის ტერმინოლოგია
"კვადრატული ფესვიx"ჩვეულებრივ იწერება იმით, რასაც რადიკალურ ნიშანს უწოდებენ, ან უბრალოდ რადიკალს (). ამრიგად ნებისმიერიx:
\ sqrt {x}
წარმოადგენს მის კვადრატულ ფესვს. გადაატრიალეთ ამ ნომრის კვადრატიxიწერება 2-ის ექსპონენტის გამოყენებით (x2). ექსპონატები იღებენ ზედწერილებს ტექსტების დამუშავებასა და მასთან დაკავშირებულ პროგრამებზე, და მათ ასევე ეწოდება უფლებამოსილებები. იმის გამო, რომ რადიკალური ნიშნების წარმოება ყოველთვის ადვილი არ არის მოთხოვნით, ეს არის "კვადრატული ფესვის" დაწერაx"არის ექსპონენტის გამოყენება:
x ^ {1/2}
ეს, თავის მხრივ, ზოგადი სქემის ნაწილია:
x ^ {(წ / ზ)}
ნიშნავს "ამაღლებასxძალაუფლებასyშემდეგ აიღე 'ზ"ამის ფესვი".x1/2 ამრიგად ნიშნავს "ამაღლებასxპირველი ძალაუფლებისკენ, რომელიც უბრალოდ არისxისევ და შემდეგ აიღეთ მისი 2 ფესვი, ან კვადრატული ფესვი. "ამის გაფართოება,x(5/3) ნიშნავს "ამაღლებასx5-ის ძალაზე, შემდეგ იპოვნეთ მესამე ფესვი (ან კუბის ფესვი). "
რადიკალები შეიძლება გამოყენებულ იქნას 2 ფესვების გარდა, კვადრატული ფესვის წარმოსადგენად. ეს კეთდება რადიკლის ზედა მარცხენა მხარეს ზედწერილის უბრალოდ მიმაგრებით.
\ sqrt [3] {x ^ 5}
შემდეგ, წარმოადგენს იგივე რიცხვს, როგორცx(5/3) წინა პუნქტიდან აკეთებს.
კვადრატული ფესვების უმეტესობა არის ირაციონალური რიცხვები. ეს ნიშნავს, რომ ისინი არა მხოლოდ ლამაზი, სისუფთავე მთელი რიცხვია (მაგ., 1, 2, 3, 4).. .), მაგრამ ისინი ასევე არ შეიძლება გამოხატავდეს როგორც სისუფთავე ათობითი რიცხვი, რომელიც მთავრდება დამრგვალების გარეშე. რაციონალური რიცხვი შეიძლება გამოხატავდეს წილადს. ასე რომ, მიუხედავად იმისა, რომ 2.75 მთელი რიცხვი არ არის, ის რაციონალური რიცხვია, რადგან იგივეა რაც ფრაქცია 11/4. თქვენ ადრე გითხარით, რომ 50-ის კვადრატული ფესვი არის 7.071, მაგრამ ეს ფაქტიურად მრგვალდება ათწილადი უსასრულო რაოდენობიდან. √50-ის ზუსტი ღირებულებაა 5√2 და მალე დაინახავთ, როგორ განისაზღვრება ეს.
კვადრატული ფესვის ფუნქციების გრაფიკები
თქვენ უკვე ნახეთ, რომ განტოლებები კვადრატებისა და კვადრატული ფესვების ჩართვაში არაწრფივია. ამის დამახსოვრების ერთი მარტივი გზაა ის, რომ ამ განტოლებების ამოხსნების გრაფიკები არ არიან ხაზები. ამას აქვს აზრი, რადგან თუ, როგორც აღნიშნა, 0 – ის კვადრატი 0 არის, ხოლო 10 – ის კვადრატი 100 – ია, მაგრამ კვადრატი 5 – ისა 50 არ არის, რიცხვის კვადრატის შედეგად წარმოქმნილი გრაფიკი სწორად უნდა გადაუხვევს გზას ღირებულებებს.
ეს არის გრაფიკის გრაფიკი
y = x ^ 2
როგორც თავად ხედავთ რესურსების კალკულატორით მონახულებით და პარამეტრების შეცვლით. ხაზი გადის წერტილში (0,0) და y არ ჩამორჩება 0-ს ქვემოთ, რასაც უნდა ელოდო, რადგან ეს იციx2 ნეგატიური არასდროს არის. თქვენ ასევე ხედავთ, რომ გრაფიკი სიმეტრიულია გარშემოy-აქსი, რომელსაც ასევე აქვს აზრი, რადგან მოცემული რიცხვის ყველა დადებით კვადრატულ ფესვს თან ახლავს თანაბარი სიდიდის უარყოფითი კვადრატული ფესვი. ამიტომ, 0-ს გამოკლებით, ყველაyმნიშვნელობა გრაფიკზეy = x2 ასოცირდება ორთანx-ღირებულებები.
კვადრატული ფესვების პრობლემები
კვადრატული ფესვების ძირითადი პრობლემების ხელით მოგვარების ერთ-ერთი გზაა პრობლემის შიგნით "დამალული" სრულყოფილი კვადრატების ძებნა. პირველ რიგში, მნიშვნელოვანია იცოდეთ კვადრატებისა და კვადრატული ფესვების რამდენიმე სასიცოცხლო თვისება. ერთ-ერთი ასეთია, ისევე, როგორცx2 უბრალოდ ტოლიაx(რადგან რადიკალი და ექსპონენტი გააუქმებენ ერთმანეთს):
\ sqrt {x ^ 2y} = x \ sqrt {y}
ანუ, თუ თქვენ გაქვთ სრულყოფილი კვადრატი რადიკალში სხვა რიცხვის გამრავლების ქვეშ, შეგიძლიათ "გაიყვანოთ იგი" და გამოიყენოთ როგორც დარჩენილი კოეფიციენტი. მაგალითად, 50 – ის კვადრატული ფესვის დაბრუნება
\ sqrt {50} = \ sqrt {(25) (2)} = 5 \ sqrt {2}
ზოგჯერ შეგიძლიათ დაასრულოთ კვადრატული ფესვების მქონე რიცხვი, რომელიც გამოხატულია წილადის სახით, მაგრამ მაინც არაგონივრული რიცხვია, რადგან მნიშვნელი, მრიცხველი ან ორივე შეიცავს რადიკალს. ასეთ შემთხვევებში შეიძლება მოგთხოვონ მნიშვნელის რაციონალიზაცია. მაგალითად, ნომერი
\ frac {6 \ sqrt {5}} {\ sqrt {45}}
აქვს რადიკალი როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში. მაგრამ "45" -ის შემოწმების შემდეგ, თქვენ შეიძლება აღიაროთ ის 9-ის და 5-ის პროდუქტად, რაც ნიშნავს იმას
\ sqrt {45} = \ sqrt {(9) (5)} = 3 \ sqrt {5}
ამიტომ, წილადის დაწერა შეიძლება
\ frac {6 \ sqrt {5}} {3 \ sqrt {5}}
რადიკალები გააუქმებენ ერთმანეთს და თქვენ დარჩებით 6/3 = 2.