ექსპონენტებთან ურთიერთობის სწავლა ნებისმიერი მათემატიკური განათლების განუყოფელი ნაწილია, მაგრამ, საბედნიეროდ, მათი გამრავლებისა და გაყოფის წესები ემთხვევა არაფრაქციულ ექსპონენტთა წესებს. პირველი ნაბიჯი იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა გაუმკლავდეთ ფრაქციულ ექსპონენტებს, არის ის, თუ რა კონკრეტულად არიან ისინი, შემდეგ შეგიძლიათ ნახოთ თუ როგორ შეგიძლიათ დააკავშიროთ მაჩვენებლები, როდესაც ისინი მრავლდებიან ან იყოფა და მათ აქვთ იგივე ბაზა მოკლედ, გამრავლებისას ერთად დაამატებთ ექსპონენტებს და გაყოფისას ერთმანეთს გამოაკლებთ, იმ პირობით, რომ მათ ერთი და იგივე ფუძე აქვთ.
TL; DR (ძალიან გრძელია; არ წავიკითხე)
გამრავლეთ ტერმინები ექსპონენტებთან ზოგადი წესის გამოყენებით:
xა + xბ = x(ა + ბ)
და განაწილე ტერმინები ექსპონენტებთან წესის გამოყენებით:
xა ÷ xბ = x(ა – ბ)
ეს წესები მუშაობს ნებისმიერი გამოთქმის ნაცვლადადაბ, ფრაქციებიც კი.
რა არის ფრაქციული ექსპონატები?
ფრაქციული ექსპონენტები წარმოადგენენ კვადრატული, კუბური და უმაღლესი ფესვების გამოხატვის კომპაქტურ და სასარგებლო ხერხს. მნიშვნელის მნიშვნელი გიჩვენებთ "ფუძის" რიცხვის რომელ ფესვს წარმოადგენს ტერმინი. მსგავსი ტერმინით
x ^ {1/2} = \ კვადრატი {x}
მნიშვნელის ორის მნიშვნელი გეუბნება, რომ კვადრატულ ფესვს იღებxამ გამოთქმაში. იგივე ძირითადი წესი ვრცელდება მაღალ ფესვებზე:
x ^ {1/3} = \ sqrt [3] {x}
და
x ^ {1/4} = \ sqrt [4] {x}
ეს ნიმუში გრძელდება. კონკრეტული მაგალითისთვის:
9 ^ {1/2} = \ sqrt {9} = 3
და
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
წილადის ექსპონატის წესები: წილადური ექსპონატების გამრავლება იმავე ფუძით
გაამრავლეთ ტერმინები ფრაქციულ ექსპონენტებთან (იმ პირობით, რომ მათ აქვთ ერთი და იგივე ფუძე) ექსპონატების ერთად დამატება Მაგალითად:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x ^ 1 = x
მას შემდეგx1/3 ნიშნავს ”კუბის ფესვსx”, სავსებით სავსეა აზრი, რომ ეს თავისით გამრავლებული ორჯერ იძლევა შედეგსx. თქვენ შეიძლება წააწყდეთ მაგალითად, მაგალითადx1/3 × x1/3, მაგრამ თქვენ ზუსტად ისე გაუმკლავდებით მათ:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3)} \\ = x ^ {2/3}
ის ფაქტი, რომ დასასრულს გამოხატვა კვლავ ფრაქციული ექსპონატია, ამ პროცესს არ აქვს მნიშვნელობა. ამის გამარტივება შესაძლებელია, თუ ამას გაითვალისწინებთx2/3 = (x1/3)2 = ∛x2. მსგავსი გამოთქმით, არ აქვს მნიშვნელობა ჯერ ფესვს მიიღებ თუ ძალას. ეს მაგალითი გვიჩვენებს, თუ როგორ გამოვთვალოთ ეს:
8 ^ {1/3} + 8 ^ {1/3} = 8 ^ {2/3} \\ = (\ sqrt [3] {8}) ^ 2
მას შემდეგ, რაც 8-ის კუბის ფესვი მარტივია, ამის მოგვარება შემდეგნაირად ხდება:
(\ sqrt [3] {8}) ^ 2 = 2 ^ 2 = 4
ეს ნიშნავს:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
თქვენ შეიძლება ასევე შეგხვდეთ წილადის გამოხატულების პროდუქტებს სხვადასხვა რიცხვით, წილადების მნიშვნელობებში და შეგიძლიათ დაამატოთ ეს მაჩვენებლები ისევე, როგორც სხვა წილადების დამატება. Მაგალითად:
\ დაწყება {გასწორება} x ^ {1/4} × x ^ {1/2} & = x ^ {(1/4 + 1/2)} \\ & = x ^ {(1/4 + 2/4 )} \\ & = x ^ {3/4} \ დასრულება {გასწორებული}
ეს არის ზოგადი წესის სპეციფიკური გამონათქვამები ორი გამოხატვის ექსპონატებით გამრავლებისთვის:
x ^ a + x ^ b = x ^ {(a + b)}
წილადის ექსპონატის წესები: წილადის ექსპონატების დაყოფა იმავე ფუძით
გაუმკლავდით ფრაქციულ მაჩვენებლებთან ორი რიცხვის განყოფილებებს, რომელსაც გამოყოფთ (გამყოფს) გამოყოფთ, რომელსაც თქვენ ყოფთ (დივიდენდი). Მაგალითად:
x ^ {1/2} ÷ x ^ {1/2} = x ^ {(1/2 - 1/2)} \\ = x ^ 0 = 1
ამას აზრი აქვს, რადგან თავისთავად გაყოფილი ნებისმიერი რიცხვი უდრის ერთს, და ეს ეთანხმება სტანდარტულ შედეგს, რომ 0 რიცხვზე გაზრდილი ნებისმიერი რიცხვი ერთს უდრის. მომდევნო მაგალითში რიცხვები გამოიყენება როგორც ბაზები და სხვადასხვა გამოხატულები:
\ დაწყება {გასწორებული} 16 ^ {1/2} ÷ 16 ^ {1/4} & = 16 ^ {(1/2 - 1/4)} \\ & = 16 ^ {(2/4 - 1/4 )} \\ & = 16 ^ {1/4} \\ & = 2 \ ბოლო {გასწორებული}
რომლის დანახვა ასევე შეგიძლიათ, თუ გაითვალისწინებთ რომ 161/2 = 4 და 161/4 = 2.
გამრავლების მსგავსად, შეიძლება ასევე აღმოჩნდეთ ფრაქციული ექსპონენტებით, რომლებსაც მრიცხველში აქვთ ერთი რიცხვის გარდა სხვა, მაგრამ მათ ასე ანალოგიურად გაუმკლავდებით.
ეს უბრალოდ გამოხატავს ექსპონატების დაყოფის ზოგად წესს:
x ^ a ÷ x ^ b = x ^ {(a - b)}
წილადის ექსპონატების გამრავლება და დაყოფა სხვადასხვა საფუძვლებში
თუ ტერმინების საფუძვლები განსხვავებულია, არ არსებობს მარტივი მეთოდი გამრავლებისა და გაყოფისთვის. ამ შემთხვევებში უბრალოდ გამოთვალეთ ინდივიდუალური ტერმინების მნიშვნელობა და შემდეგ შეასრულეთ საჭირო ოპერაცია. ერთადერთი გამონაკლისი არის თუ ექსპონენტი იგივეა, ამ შემთხვევაში შეგიძლიათ მათი გამრავლება ან გაყოფა შემდეგნაირად:
x ^ 4 × y ^ 4 = (xy) ^ 4 \\ x ^ 4 ÷ y ^ 4 = (x ÷ y) ^ 4