მრავალწევრის ფესვებს მის ნულებსაც უწოდებენ, რადგან ფესვებიაxმნიშვნელობები, რომელთა დროსაც ფუნქცია ნულის ტოლია. როდესაც ფესვების რეალურად პოვნა ხდება, თქვენს განკარგულებაშია მრავალი ტექნიკა; ფაქტორინგი არის მეთოდი, რომელსაც ყველაზე ხშირად გამოიყენებთ, თუმცა გრაფიკირებაც შეიძლება სასარგებლო იყოს.
რამდენი ფესვი?
შეისწავლეთ პოლინომის უმაღლესი ხარისხის ტერმინი - ეს არის უმაღლესი მაჩვენებლის მქონე ტერმინი. ეს მაჩვენებელია რამდენი ფესვი ექნება პოლინომს. ასე რომ, თუ თქვენს პოლინომში ყველაზე მაღალი მაჩვენებელია 2, მას ორი ფესვი ექნება; თუ ყველაზე მაღალი ექსპონენტია 3, მას ექნება სამი ფესვი; და ასე შემდეგ.
გაფრთხილებები
-
არსებობს დაჭერა: მრავალწევრის ფესვები შეიძლება იყოს რეალური ან წარმოსახვითი. "ნამდვილი" ფესვები არის სიმრავლის წევრები, რომლებიც ცნობილია როგორც ნამდვილი რიცხვები, რაც მათემატიკის კარიერის ამ ეტაპზე არის ყველა ნომერი, რომელთანაც შეჩვეული ხარ. წარმოსახვითი ციფრების დაუფლება სულ სხვა თემაა, ამიტომ ახლა მხოლოდ გახსოვდეთ სამი რამ:
- "წარმოსახვითი" ფესვები იშლება, როდესაც უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი გაქვთ. მაგალითად, √ (-9).
- წარმოსახვითი ფესვები ყოველთვის წყვილებში მოდის.
- მრავალწევრის ფესვები შეიძლება იყოს რეალური ან წარმოსახვითი. ასე რომ, თუ თქვენ გაქვთ მე -5 ხარისხის პოლინომი, მას შეიძლება ჰქონდეს ხუთი რეალური ფესვი, მას შეიძლება ჰქონდეს სამი რეალური ფესვი და ორი წარმოსახვითი ფუძე და ა.შ.
ფაქტორების მიხედვით იპოვნეთ ფესვები: მაგალითი 1
ფესვების ძიების ყველაზე მრავალმხრივი გზაა თქვენი მრავალწევრის ფაქტორირება მაქსიმალურად და შემდეგ თითოეული ტერმინის ნულის ტოლი დაყენება. ამას გაცილებით მეტი აზრი აქვს, თუ რამდენიმე მაგალითს გაეცანით. განვიხილოთ მარტივი მრავალწევრიx2 – 4x:
მოკლე გამოკვლევამ აჩვენა, რომ თქვენ შეგიძლიათ მოახდინოთ ფაქტორიxმრავალწევრის ორივე ტერმინიდან, რომელიც გაძლევთ:
x (x - 4)
დააყენეთ თითოეული ტერმინი ნულზე. ეს ნიშნავს ორი განტოლების ამოხსნას:
x = 0
არის პირველი ტერმინი, რომელიც დაყენებულია ნულზე და
x - 4 = 0
არის მეორე ტერმინი, რომელიც ნულის ტოლია.
თქვენ უკვე გაქვთ გამოსავალი პირველი ვადისთვის. თუკიx= 0, მაშინ მთლიანი გამოხატვა ნულის ტოლია. Ისეx= 0 მრავალწევრის ერთ-ერთი ფუძეა, ან ნულოვანი.
ახლა განიხილე მეორე ტერმინი და გადაწყვიტეx. თუ ორივე მხარეს დაუმატებთ 4-ს, გექნებათ:
x - 4 + 4 = 0 + 4
რაც ამარტივებს:
x = 4
ასე რომ თუx= 4, მაშინ მეორე ფაქტორი ნულის ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ მთელი პოლინომიც ნულის ტოლია.
იმის გამო, რომ ორიგინალი მრავალწევრი იყო მეორე ხარისხის (უმაღლესი ექსპონატი იყო ორი), თქვენ იცით, რომ ამ მრავალწევრისთვის მხოლოდ ორი შესაძლო ფესვია. თქვენ უკვე იპოვნეთ ორივე, ამიტომ მხოლოდ ჩამოთვლა გჭირდებათ:
x = 0, x = 4
ფაქტორების მიხედვით იპოვნეთ ფესვები: მაგალითი 2
აქ მოცემულია კიდევ ერთი მაგალითი იმისა, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ფესვები ფაქტორინგით, რამდენიმე ალგებრის გამოყენებით. განვიხილოთ მრავალწევრიx4 – 16. მისი ექსპონატების სწრაფი გადახედვა გიჩვენებს, რომ ამ მრავალწევრისთვის ოთხი ფესვი უნდა არსებობდეს; ახლა დროა იპოვოთ ისინი.
შეამჩნიეთ, რომ ამ მრავალწევრის გადაწერა შესაძლებელია როგორც კვადრატების სხვაობა? ასე რომ ნაცვლადx4 - 16, თქვენ გაქვთ:
(x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2
რაც, კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით, განაპირობებს შემდეგს:
(x ^ 2 - 4) (x ^ 2 + 4)
პირველი ტერმინი ისევ კვადრატების სხვაობაა. ასე რომ, მართალია, ტერმინს აღარ ასრულებთ მარჯვნივ, ტერმინი მარცხნივ კიდევ ერთი ნაბიჯით შეგიძლიათ განაპირობოთ:
(x - 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
დროა იპოვოთ ნულები. სწრაფად ირკვევა, რომ თუx= 2, პირველი ფაქტორი ნულის ტოლია და, ამრიგად, მთელი გამოხატვა იქნება ნულის ტოლი.
ანალოგიურად, თუx= −2, მეორე ფაქტორი ნულის ტოლი იქნება, შესაბამისად, მთლიანი გამოხატვაც.
Ისეx= 2 დაx= −2 ორივე პოლინომის ნულოვანი ან ფესვია.
მაგრამ რაც შეეხება ამ ბოლო ვადას? რადგან მას აქვს "2" ექსპონატი, მას ორი ფესვი უნდა ჰქონდეს. მაგრამ ამ გამოთქმის ფაქტორირება შეუძლებელია ნამდვილი ციფრების გამოყენებით, რომლებსაც მიჩვეული ხარ. თქვენ უნდა გამოიყენოთ ძალიან მოწინავე მათემატიკური კონცეფცია, რომელსაც ეწოდება წარმოსახვითი რიცხვები ან, თუ გირჩევნიათ, რთული რიცხვები. ეს ბევრად სცილდება თქვენი ამჟამინდელი მათემატიკის პრაქტიკის ფარგლებს, ამიტომ ახლა საკმარისია გაითვალისწინოთ, რომ თქვენ გაქვთ ორი რეალური ფესვი (2 და −2) და ორი წარმოსახვითი ფესვი, რომელსაც დაუდგენლად დატოვებთ.
იპოვნეთ ფესვები გრაფიკით
ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ, ან თუნდაც შეაფასოთ ფესვები გრაფიკის გამოყენებით. ყველა ფუძე წარმოადგენს წერტილს, სადაც ფუნქციის გრაფიკი კვეთსxღერძი ასე რომ, თუ ხაზს ადგენთ ხაზს და შემდეგ აღნიშნავთxკოორდინაციას უწევს ხაზის გადაკვეთასxღერძი, შეგიძლიათ ჩასვათ სავარაუდოxამ წერტილების მნიშვნელობები თქვენს განტოლებაში და შეამოწმეთ, ხომ არ გაქვთ ისინი სწორი.
განვიხილოთ პირველი მაგალითი, რომელზეც იმუშავე მრავალწევრისთვისx2 – 4x. თუ ფრთხილად გამოკვეთთ მას, ნახავთ, რომ ხაზი გადაკვეთსxღერძი ზეx= 0 დაx= 4. თუ თითოეულ ამ მნიშვნელობას შეიტანთ თავდაპირველ განტოლებაში, მიიღებთ:
0^2 - 4(0) = 0
ისეx= 0 იყო სწორი ნულოვანი ან ფესვი ამ მრავალწევრისთვის.
4^2 - 4(4) = 0
ისეx= 4 ასევე მოქმედებს ნულოვანი ან ძირეული ამ მრავალწევრისთვის. და რადგან მრავალწევრი იყო მე -2 ხარისხის, თქვენ იცით, რომ ორი ფესვის პოვნის შემდეგ შეგიძლიათ შეწყვიტოთ ყურება.