განტოლებები მართალია, თუ ორივე მხარე ერთნაირია. განტოლებების თვისებები ასახავს სხვადასხვა ცნებებს, რომლებიც განტოლების ორივე მხარეს ერთსა და იმავე მდგომარეობას ინახავს, თქვენ დაამატოთ, გამოაკლოთ, გამრავლებით ან გამყოფით. ალგებრაში ასო ნიშნავს იმ ციფრებს, რომლებიც არ იცით და თვისებები იწერება ასოებით იმის დასამტკიცებლად, რომ რაც არ უნდა დაამატოთ რიცხვები, ისინი ყოველთვის მართებულად იმუშავებენ. შეიძლება ეს თვისებები იფიქროთ როგორც "ალგებრის წესები", რომელთა გამოყენება მათემატიკური პრობლემების მოგვარებაში დაგეხმარებათ.
ასოციაციური და კომუტაციური თვისებები
ასოციაციური და კომუტაციური თვისებები ორივეს აქვს შეკრებისა და გამრავლების ფორმულები.კომუტაციური თვისებაამბობს, რომ თუ ორ რიცხვს დაამატებთ, არ აქვს მნიშვნელობა რა წესრიგში დააყენებთ. მაგალითად, 4 + 5 იგივეა, რაც 5 + 4. ფორმულაა:
a + b = b + a
ნებისმიერი რიცხვი, რომლისთვისაც ჩართავთადაბმაინც სიმართლეს გახდის ქონებას.
გამრავლების კომუტაციური თვისებაფორმულა ნათქვამია
a × b = b × a
ეს ნიშნავს, რომ ორი რიცხვის გამრავლებისას მნიშვნელობა არ აქვს, პირველ რიგში რომელი რიცხვის აკრეფას აპირებ. თქვენ კვლავ მიიღებთ 10 – ს, თუ გამრავლებით 2 × 5 ან 5 × 2.
დამატების ასოციაციური თვისებაამბობს, რომ თუ ორ რიცხვს დააჯგუფებთ და დაუმატებთ შემდეგ დაამატებთ მესამე რიცხვს, მნიშვნელობა არ აქვს რა ჯგუფს იყენებთ. ფორმულის სახით, ასე გამოიყურება
(a + b) + c = a + (b + c)
Მაგალითად
\ text {if} (2 + 3) + 4 = 9 \ ტექსტი {შემდეგ} 2 + (3 + 4) = 9
ანალოგიურად, თუ ორ რიცხვს ამრავლებთ და შემდეგ ამ პროდუქტს მესამე რიცხვზე ამრავლებთ, მნიშვნელობა არ აქვს, პირველ ორ რიცხვს რას ამრავლებთ. ფორმულის ფორმით,გამრავლების ასოციაციური თვისებაროგორც ჩანს
(a × b) c = a (b × c)
მაგალითად, (2 × 3) 4 გამარტივდება 6 × 4-მდე, რაც უდრის 24-ს. თუ დააჯგუფებთ 2-ს (3 × 4), გექნებათ 2 × 12 და ეს ასევე მოგცემთ 24-ს.
მათემატიკის თვისებები: გარდამავალი და განაწილება
გარდამავალი თვისებაამბობს, რომ თუა = ბდაბ = გშემდეგა = გ. ეს თვისება ხშირად გამოიყენება ალგებრული ჩანაცვლების დროს. Მაგალითად,
\ text {if} 4x - 2 = y \ text {და} y = 3x + 4 \ ტექსტი {, შემდეგ} 4x - 2 = 3x + 4
თუ იცით, რომ ეს ორი მნიშვნელობა ერთმანეთის ტოლია, შეგიძლიათ გადაწყვიტოთx. ერთხელ თქვენ იცითx, თქვენ შეგიძლიათ გადაწყვიტოთyთუ საჭიროა.
განაწილების თვისებასაშუალებას გაძლევთ მოშორდეთ ფრჩხილებში, თუ მათ გარეთ არის ტერმინი, მაგალითად 2 (x− 4). ფრჩხილები მათემატიკაში მიუთითებს გამრავლებაზე და რაღაცის განაწილება ნიშნავს, რომ მას გაითვალისწინებ. ასე რომ, გამოიყენეთ სადისტრიბუციო თვისება ფრჩხილების აღმოსაფხვრელად, გამრავლეთ ტერმინი მათ გარეთყველატერმინი მათ შიგნით. ასე რომ, თქვენ გაამრავლებთ 2-ს დაxმიიღოს 2x, და გაამრავლებთ 2-ს და 4-ს და მიიღებთ −8-ს. გამარტივებული, ასე გამოიყურება:
2 (x - 4) = 2x - 8
განაწილების თვისების ფორმულაა
a (b + c) = ab + ac
ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ სადისტრიბუციო თვისება გამონათქვამიდან საერთო ფაქტორის ამოსაღებად ეს ფორმულა არის
ab + ac = a (b + c)
მაგალითად, გამოთქმაში 3x+ 9, ორივე ტერმინი იყოფა 3-ზე. გაიყვანეთ ფაქტორი ფრჩხილების გარეთ და დანარჩენი დატოვეთ შიგნით: 3 (x + 3).
ალგებრის თვისებები უარყოფითი რიცხვებისთვის
დანამატის შებრუნებული თვისებაამბობს, რომ თუ ერთ რიცხვს დაამატებთ მისი უკუპროპესიო, ან უარყოფითი ვერსიით, მიიღებთ ნულს. მაგალითად, −5 + 5 = 0. რეალურ სამყაროში მაგალითად, თუ ვინმეს ვალი გაქვთ 5 დოლარი, შემდეგ კი მიიღებთ 5 დოლარს, თქვენ ჯერ კიდევ არ გექნებათ თანხა, რადგან ამ 5 დოლარის გადახდა გიწევთ სესხის გადასახდელად. ფორმულა არის
a + (−a) = 0 = ()a) + ა
გამრავლების შებრუნებული თვისებაამბობს, რომ თუ რიცხვს წილადზე ამრავლებთ მრიცხველის ერთზე და ამ რიცხვს მნიშვნელში, მიიღებთ ერთს:
a × \ frac {1} {a} = 1
თუ გაამრავლებთ 2 – ს 1/2 – ზე, მიიღებთ 2/2 – ს. ნებისმიერი რიცხვი თავისთავად ყოველთვის არის 1.
უარყოფის თვისებებიუკარნახოს უარყოფითი რიცხვების გამრავლება. თუ უარყოფითი და პოზიტიური რიცხვი გაამრავლებთ, თქვენი პასუხი უარყოფითი იქნება:
(-ა) (ბ) = -აბ \ ტექსტი {და} - (აბ) = -აბ
თუ ორი უარყოფითი რიცხვი გაამრავლებთ, თქვენი პასუხი დადებითი იქნება:
- (- ა) = ა \ ტექსტი {და} (-ა) (- ბ) = აბ
თუ ფრჩხილებში გაქვს უარყოფითი, ეს უარყოფითი ერთვის უხილავს 1-ს. ეს −1 გადანაწილებულია ფრჩხილებში. ფორმულა არის
- (a + b) = (-a) + (-b) = - a - b
Მაგალითად
- (x - 3) = -x + 3
რადგან −1 და −3 გამრავლება მოგცემთ 3-ს.
ნულის თვისებები
დამატების პირადობის თვისებააცხადებს, რომ თუ დაამატებთ ნებისმიერ რიცხვს და ნულს, მიიღებთ ორიგინალურ რიცხვს:
a + 0 = ა
Მაგალითად,
4 + 0 = 4
ნულის გამრავლების თვისებანათქვამია, რომ როდესაც რაიმე რიცხვს ნულზე გაამრავლებთ, ყოველთვის მიიღებთ ნულს:
a 0 = 0
Მაგალითად
4 × 0 = 0
Გამოყენებითნულოვანი პროდუქტის თვისება,დანამდვილებით შეიძლება იცოდეთ, რომ თუ ორი რიცხვის პროდუქტი ნულოვანია, მაშინ ერთ – ერთი მრავლობითია ნული. ფორმულა ამბობს, რომ
\ text {if} ab = 0 \ text {, შემდეგ} a = 0 \ text {ან} b = 0
ტოლობის თვისებები
ტოლობების თვისებები აცხადებენ, რომ რაც თქვენ გააკეთეთ განტოლების ერთ მხარეს, თქვენ უნდა გააკეთოთ მეორეზე.თანასწორობის დამატებული თვისებააცხადებს, რომ თუ ერთ მხარეს გაქვთ რიცხვი, უნდა დაამატოთ იგი მეორეზე. Მაგალითად,
\ text {if} 5 + 2 = 3 + 4 \ ტექსტი {, შემდეგ} 5 + 2 + 3 = 3 + 4 + 3
თანასწორობის გამოკლების თვისებააცხადებს, რომ თუ ერთ მხარეს გამოაკლებთ რიცხვს, მეორეს უნდა გამოაკლოთ. Მაგალითად,
\ text {if} x + 2 = 2x - 3 \ text {, შემდეგ} x + 2 - 1 = 2x - 3 - 1
ეს მოგცემდა
x + 1 = 2x - 4
დაxორივე ტოლობის ტოლი იქნებოდა 5.
თანასწორობის გამრავლების თვისებააცხადებს, რომ თუ რიცხვს ამრავლებ ერთ მხარეზე, უნდა გაამრავლო ის მეორეზე. ეს თვისება საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ დაყოფის განტოლებები. მაგალითად, თუ
\ frac {x} {4} = 2
გამრავლეთ ორივე მხარე 4-ზე, რომ მიიღოთx = 8.
თანასწორობის საკუთრების დაყოფასაშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ გამრავლების განტოლებები, რადგან ის, რაც ერთ მხარეს გაყოფთ, მეორეზე უნდა გაყოთ. მაგალითად, გაყოფა
2x = 8
ორივე მხრიდან 2-ით, გამოიღო
x = 4