როგორ მოვძებნოთ ექსპონენციალური განტოლება ორი წერტილით

თუ იცით ორი წერტილი, რომლებიც ეკუთვნის კონკრეტულ ექსპონენციალურ მრუდს, შეგიძლიათ განსაზღვროთ მრუდი ამ წერტილების გამოყენებით ზოგადი ექსპონენციალური ფუნქციის ამოხსნით. პრაქტიკაში, ეს ნიშნავს y და x წერტილების y = ab განტოლების ჩანაცვლებას^x. პროცედურა უფრო ადვილია, თუ x-მნიშვნელობა ერთ-ერთი წერტილისთვის არის 0, რაც ნიშნავს, რომ წერტილი y ღერძზეა. თუ არც ერთ წერტილს არ აქვს x ნულის ტოლი, x და y– ს გადაჭრის პროცესი უფრო რთულია.

მრავალი მნიშვნელოვანი სისტემა მიჰყვება ზრდისა და დაშლის ექსპონენციალურ ნიმუშებს. მაგალითად, კოლონიაში ბაქტერიების რაოდენობა, როგორც წესი, ექსპონენციალურად იზრდება, ხოლო ატმოსფეროში ატმოსფერული გამოსხივება ბირთვული მოვლენის შედეგად, ჩვეულებრივ, ექსპონენციალურად მცირდება. მონაცემების აღებით და მრუდის შედგენით, მეცნიერებს უკეთეს მდგომარეობაში აქვთ პროგნოზების გაკეთება.

ორგანზომილებიანი გრაფიკის ნებისმიერი წერტილი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი რიცხვით, რომლებიც ჩვეულებრივ იწერება in ფორმა (x, y), სადაც x განსაზღვრავს ჰორიზონტალურ დაშორებას საწყისი ადგილიდან და y წარმოადგენს ვერტიკალს მანძილი მაგალითად, წერტილი (2, 3) არის ორი ერთეული y- ღერძის მარჯვნივ და სამი ერთეული x ღერძის ზემოთ. მეორეს მხრივ, წერტილი (-2, -3) არის ორი ერთეული y- ღერძის მარცხნივ. და სამი ერთეული x ღერძის ქვემოთ.

თუ ორი წერტილი გაქვთ, (x₁, წ₁) და (x₂, წ₂), თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ ექსპონენციალური ფუნქცია, რომელიც გადის ამ წერტილებში მათი ჩანაცვლებით y = ab განტოლებაში^x და გადაჭრის a და b. ზოგადად, თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ ამ წყვილის განტოლებები:

y₁ = აბ^x1 და₂ = აბ^x2, .

ამ ფორმით, მათემატიკა ცოტა რთულად გამოიყურება, მაგრამ მას შემდეგ, რაც რამდენიმე მაგალითი გააკეთე, ნაკლებად გამოიყურება.

თუ რომელიმე x- მნიშვნელობები - თქვით x₁ - არის 0, ოპერაცია ხდება ძალიან მარტივი. მაგალითად, განტოლების ამოხსნა წერტილებისთვის (0, 2) და (2, 4) იძლევა:

2 = აბ⁰ და 4 = აბ². მას შემდეგ რაც ვიცით რომ ბ⁰ = 1, პირველი განტოლება ხდება 2 = a. მეორე განტოლებაში a– ს ჩანაცვლება იძლევა 4 = 2b², რომელსაც ჩვენ ვამარტივებთ ბ² = 2, ან b = 2 – ის კვადრატული ფესვი, რაც უდრის დაახლოებით 1,41 – ს. მაშასადამე, განმსაზღვრელი ფუნქციაა y = 2 (1.41)^x.

თუ არც x სიდიდე არის ნული, წყვილის განტოლების ამოხსნა ოდნავ უფრო რთულია. ჰენოჰმათი მარტივად მაგალითს გვაწვდის ამ პროცედურის გასარკვევად. თავის მაგალითში მან აირჩია წერტილების წყვილი (2, 3) და (4, 27). ეს იძლევა შემდეგ წყვილ განტოლებებს:

27 = აბ⁴

3 = აბ²

თუ პირველ განტოლებას მეორეზე გაყოფთ, მიიღებთ

9 = ბ²

ასე რომ b = 3. შესაძლებელია b ასევე იყოს -3 ტოლი, მაგრამ ამ შემთხვევაში, ჩათვალეთ, რომ იგი დადებითია.

შეგიძლიათ ეს მნიშვნელობა b შეცვალოთ b ნებისმიერ ან განტოლებაში, რომ მიიღოთ a. მეორე განტოლების გამოყენება უფრო ადვილია, ასე რომ:

3 = ა (3)² რომელიც შეიძლება გამარტივდეს 3 = a9, a = 3/9 ან 1/3.

განტოლება, რომელიც გადის ამ წერტილებში, შეიძლება დაიწეროს როგორც y = 1/3 (3)^x.

1910 წლიდან ადამიანის პოპულაციის ზრდა ექსპონენციალურია და ზრდის მრუდის შედგენით, მეცნიერებს უკეთეს მდგომარეობაში აქვთ სამომავლო პროგნოზირება და დაგეგმვა. 1910 წელს მსოფლიოს მოსახლეობა 1.75 მილიარდს შეადგენდა, ხოლო 2010 წელს - 6.87 მილიარდს. 1910 წლიდან ამოსავალ წერტილად ვიღებთ წერტილებს (0, 1.75) და (100, 6.87). იმის გამო, რომ პირველი წერტილის x მნიშვნელობა ნულოვანია, ჩვენ ადვილად შეგვიძლია ვიპოვოთ a.

1.75 = აბ⁰ ან a = 1,75. ამ მნიშვნელობის, მეორე პუნქტის მნიშვნელობებთან ერთად, ზოგადი ექსპონენციალური განტოლების ჩართვა აწარმოებს 6.87 = 1.75 ბ¹⁰⁰, რომელიც b- ს მნიშვნელობას ანიჭებს როგორც 6.87 / 1.75 ან 3.93-ის მეასედ ფესვს. ასე ხდება განტოლება y = 1.75 (მე -3 ფესვი 3.93)^x. მიუხედავად იმისა, რომ ამის გაკეთებას სლაიდზე მეტი სჭირდება, მეცნიერებს შეუძლიათ გამოიყენონ ეს განტოლება მოსახლეობის მომავალი რიცხვების დასაპროექტებლად, რათა დღევანდელ პოლიტიკოსებს დაეხმარონ შესაბამისი პოლიტიკის შემუშავებაში.