მათემატიკის ყველა სტუდენტი და საბუნებისმეტყველო მეცნიერების ბევრი სტუდენტი სწავლის პერიოდში გარკვეულ ეტაპზე მრავლისმეტყველებს შეხვდება, მაგრამ საბედნიეროდ, მათთან მოგვარება მარტივია, თუ საფუძვლებს შეისწავლით. ძირითადი მოქმედებები, რისი გაკეთებაც დაგჭირდებათ პოლინომის გამონათქვამებთან, არის დამატება, გამოკლება, გამრავლება და დაყოფა, ხოლო გაყოფა შეიძლება იყოს რთული, უმეტესად თქვენ შეძლებთ გაუმკლავდეთ საფუძვლებს განმუხტვის.
მრავალწევრები: განმარტება და მაგალითები
მრავალხმიანობა აღწერს ალგებრულ გამოხატვას ერთი ან მეტი ტერმინებით, რომელიც მოიცავს ცვლადს (ან ერთზე მეტს), ექსპონენტებით და შესაძლოა მუდმივებით. მათ არ შეუძლიათ შეიტანონ დაყოფა ცვლადზე, არ შეიძლება ჰქონდეთ უარყოფითი ან წილადი ექსპონენტები და უნდა ჰქონდეთ ტერმინების სასრული რაოდენობა.
ეს მაგალითი გვიჩვენებს პოლინომს:
x ^ 3 + 2 x ^ 2 - 9 x - 4
ეს გვიჩვენებს კიდევ ერთს:
xy ^ 2 - 3 x + y
მრავალწევრის კლასიფიკაციის მრავალი მეთოდი არსებობს, მათ შორის ხარისხის მიხედვით (ექსპონენტების ჯამი უმაღლესი სიმძლავრის ტერმინზე, მაგ. 3 პირველი მაგალითი) და მათში შემავალი ტერმინების რაოდენობით, როგორიცაა მონომები (ერთი ტერმინი), ბინომები (ორი ტერმინი) და ტრინომები (სამი ვადები).
პოლინომების დამატება და გამოკლება
პოლინომების დამატება და გამოკლება დამოკიდებულია "მსგავსი" ტერმინების შერწყმაზე. მსგავსი ტერმინი არის იგივე ცვლადი და მაჩვენებელი, როგორც სხვა, მაგრამ რიცხვი, რომელზეც ისინი გამრავლებულია (კოეფიციენტი) შეიძლება განსხვავებული იყოს. Მაგალითად,x2 და 4x 2 ტერმინებს ჰგავს, რადგან მათ აქვთ იგივე ცვლადი და ექსპონენტი, და 2xy 4 და 6xy 4 ტერმინებსაც ჰგავს. თუმცა,x2, x3, x2y2 დაy2 ტერმინებს არ ჰგავს, რადგან თითოეული შეიცავს ცვლადების და ექსპონენტების სხვადასხვა კომბინაციას.
დაამატეთ მრავალკუთვნები მსგავსი ტერმინების კომბინაციით ისევე, როგორც სხვა ალგებრული ტერმინების გამოყენებით. მაგალითად, გადახედეთ პრობლემას:
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + წ)
შეაგროვეთ მსგავსი ტერმინები, რომ მიიღოთ:
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + წ
შემდეგ შეაფასეთ კოეფიციენტების უბრალოდ დამატება და გაერთიანება ერთ ტერმინში:
10 x ^ 3 + 5 x + წ
გაითვალისწინეთ, რომ ვერაფერს გააკეთებთyრადგან მას მსგავსი ვადა არ აქვს.
გამოკლება ანალოგიურად მუშაობს:
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y) - (2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
პირველ რიგში, გაითვალისწინეთ, რომ მარჯვენა ფრჩხილის ყველა ტერმინი გამოკლებულია მარცხენა ფრჩხილის ტერმინებიდან, ასე რომ დაწერეთ ეს:
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y - 2 x ^ 4 - 2 y ^ 2- y
შეუთავსეთ მსგავსი ტერმინები და შეაფასეთ, რომ მიიღოთ:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
მსგავსი პრობლემისთვის:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2)
გაითვალისწინეთ, რომ მინუს ნიშანი გამოიყენება მარჯვენა ფრჩხილის მთელ გამოხატვაზე, ამიტომ ორი უარყოფითი ნიშანი 3-მდეx2 გახდი დამატების ნიშანი:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2 - 6 xy + 3 x ^ 2
შემდეგ გამოთვალეთ, როგორც ადრე.
მრავალწევრის გამონათქვამების გამრავლება
მრავლობითი მრავალმხრივი გამონათქვამების გამრავლება გამრავლების თვისების გამოყენებით. მოკლედ, პირველ პოლინომის ყველა ტერმინის გამრავლება მეორე ტერმინზე. გადახედეთ ამ მარტივ მაგალითს:
4 x × (2 x ^ 2 + წ)
ამას გადაწყვეტთ სადისტრიბუციო თვისების გამოყენებით, ასე რომ:
\ დაწყება {გასწორება} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ დასრულება {გასწორება}
ანალოგიურად გაუმკლავდეთ უფრო რთულ პრობლემებს:
\ დასაწყისი {გასწორებული} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x (5 x ^ 2 + 2 x)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ end {გასწორებული}
ეს პრობლემები შეიძლება გართულდეს უფრო დიდი ჯგუფებისთვის, მაგრამ ძირითადი პროცესი ისევ იგივეა.
მრავალწევრის გამონათქვამების დაყოფა
მრავალწევრის გამონათქვამების დაყოფას უფრო მეტი დრო სჭირდება, მაგრამ მისი მოგვარება ეტაპობრივად შეგიძლიათ. გადახედეთ გამონათქვამს:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
პირველი, დაწერეთ გამონათქვამი გრძელი დაყოფის მსგავსად, გამყოფი მარცხნივ და დივიდენდი მარჯვნივ:
x + 2) \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10}
დაიყოს დივიდენდის პირველი ტერმინი გამყოფზე პირველი ტერმინზე და შედეგი განათავსე წილის ზემოთ წრფეზე. Ამ შემთხვევაში,x2 ÷ x = x, ისე:
\ დაწყება {გასწორება} & x \\ x + 2) & \ გადაფარვა {x ^ 2 - 3 x - 10} \ დასრულება {გასწორებული}
გავამრავლოთ ეს შედეგი მთელ გამყოფზე, ასე რომ, ამ შემთხვევაში, (x + 2) × x = x2 + 2 x. განათავსეთ ეს შედეგი დაყოფის ქვემოთ:
\ დაწყება {გასწორება} & x \\ x + 2) & \ გადაფარვა {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ დასრულება {გასწორებული}
გამოტოვეთ შედეგი ახალ სტრიქონზე პირდაპირ ზემოთ მოცემულ ტერმინებიდან (გაითვალისწინეთ, რომ ტექნიკურად შეცვლით ნიშანს, ასე რომ, თუ უარყოფითი შედეგი გქონდათ დაამატეთ იგი) და განათავსეთ იგი მის ქვემოთ მდებარე ხაზზე. გადაიტანეთ საბოლოო ვადა საწყისი დივიდენდიდან ქვემოთ.
\ დაწყება {გასწორება} & x \\ x + 2) & \ გადაფარვა {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ დასრულება {გასწორებული}
ახლა გაიმეორეთ პროცესი გამყოფი და ახალი პოლინომი ქვედა ხაზზე. ასე რომ, გეყოფა გამყოფი პირველი ტერმინი (x) დივიდენდის პირველი ვადისთვის (−5x) და ზემოთ დააყენეთ:
\ დაწყება {გასწორება} & x -5 \\ x + 2) & \ გადაფარვა {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ დასრულება {გასწორებული}
ამ შედეგის გამრავლება (−5x ÷ x= −5) ორიგინალური გამყოფი (ასე რომ (x + 2) × −5 = −5 x−10) და განათავსეთ შედეგი ახალ ქვედა ნაწილში:
\ დაწყება {გასწორება} & x -5 \\ x + 2) & \ გადაფარვა {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ ბოლო {გასწორებული}
შემდეგ გამოაკელით ქვედა ხაზი შემდეგიდან ზემოთ (ასე რომ, ამ შემთხვევაში შეცვალეთ ნიშანი და დაამატეთ) და განათავსეთ შედეგი ახალ ქვედა ხაზზე:
\ დაწყება {გასწორება} & x -5 \\ x + 2) & \ გადაფარვა {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ დასრულება {გასწორებული}
მას შემდეგ, რაც ახლა ქვედა ნაწილში ნულებია, პროცესი დასრულებულია. რომ დარჩენილიყო ნულოვანი ტერმინები, თქვენ კვლავ გაიმეორებდით პროცესს. შედეგი არის ზედა ხაზზე, ასე რომ:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
ამ განყოფილების და სხვათა მოგვარება უფრო მარტივად შეგიძლიათ, თუ ამის შესაძლებლობა გაქვთ მრავალწევრის ფაქტორი დივიდენდში.