ალგებრა აღნიშნავს პირველ ჭეშმარიტ კონცეპტუალურ ნახტომს, რომელიც მოსწავლეებმა უნდა გააკეთონ მათემატიკის სამყაროში, სწავლობენ ცვლადების მანიპულირებას და განტოლებებთან მუშაობას. განტოლებებთან მუშაობის დაწყებისთანავე წააწყდებით რამდენიმე საერთო გამოწვევას, მათ შორის ექსპონენტებს, წილადებს და მრავალ ცვლადს. ამ ყველაფრის ათვისება შესაძლებელია რამდენიმე ძირითადი სტრატეგიის დახმარებით.
ალგებრული განტოლებების ძირითადი სტრატეგია
ნებისმიერი ალგებრული განტოლების ამოხსნის ძირითადი სტრატეგია არის ცვლადის ტერმინის პირველი იზოლირება ერთ მხარეს განტოლების, და შემდეგ გამოიყენეთ შებრუნებული ოპერაციები, თუ ეს აუცილებელია კოეფიციენტების მოსაშორებლად ან ექსპონენტები. შებრუნებული ოპერაცია "ანადგურებს" სხვა ოპერაციას; მაგალითად, დაყოფა "არღვევს" კოეფიციენტის გამრავლებას, ხოლო კვადრატული ფესვები "გააუქმებს" მეორე სიმძლავრის ექსპონენტის კვადრატის მოქმედებას.
გაითვალისწინეთ, რომ თუ იყენებთ მოქმედებას განტოლების ერთ მხარეზე, იგივე მოქმედება უნდა გამოიყენოთ განტოლების მეორე მხარეს. ამ წესის შენარჩუნებით თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ განტოლების ტერმინების დაწერის მეთოდი ერთმანეთთან მიმართების შეცვლის გარეშე.
განტოლებების ამოხსნა ექსპონატებით
განტოლებების ტიპები ექსპონენტებთან, რომლებსაც ალგებრული მოგზაურობის დროს წააწყდებით, შეიძლება ადვილად შეავსოთ მთელი წიგნი. ახლა ყურადღება გამახვილეთ ექსპონენტური განტოლებების ყველაზე მთავარ დაუფლებაზე, სადაც თქვენ გაქვთ ერთი ცვლადი ტერმინი, რომელზეც გამოსახულია. Მაგალითად:
y ^ 2 + 3 = 19
გამოტოვეთ 3 განტოლების ორივე მხრიდან და დატოვეთ ცვლადი ტერმინი ერთ მხარეზე:
y ^ 2 = 16
გამოატოვეთ მაჩვენებელი ცვლადიდან იმავე ინდექსის რადიკალის გამოყენებით. გახსოვდეთ, ეს უნდა გააკეთოთ განტოლების ორივე მხარესთან. ამ შემთხვევაში, ეს ნიშნავს ორივე მხარის კვადრატული ფესვის აღებას:
\ sqrt {y ^ 2} = \ sqrt {16}
რაც ამარტივებს:
y = 4
განტოლებების წილადებთან ამოხსნა
რა მოხდება, თუ თქვენი განტოლება შეიცავს წილადს? განვიხილოთ მაგალითი
\ frac {3} {4} (x + 7) = 6
თუ წილს 3/4 გადაანაწილებთ (x+7), ყველაფერი შეიძლება სწრაფად არეული იყოს. აქ არის ბევრად უფრო მარტივი სტრატეგია.
განტოლების ორივე მხარე გავამრავლოთ წილადის მნიშვნელზე. ამ შემთხვევაში, ეს ნიშნავს წილადის ორივე მხარის გამრავლებას 4-ზე:
\ frac {3} {4} (x + 7) × 4 = 6 × 4
განტოლების ორივე მხარის გამარტივება. ეს შეიმუშავებს შემდეგს:
3 (x + 7) = 24
შეგიძლიათ კვლავ გაამარტივოთ, რის შედეგადაც მიიღებთ:
3x + 21 = 24
ორივე მხრიდან გამოკლე 21, განტოლების ერთ მხარეს ცვალებადი ტერმინის იზოლირებით:
3x = 3
დაბოლოს, განტოლების ორივე მხარე გავყოთ 3-ზე, რომ დასრულდეს ამოხსნისთვისx:
x = 1
ერთი განტოლების ამოხსნა ორი ცვლადით
Თუ თქვენ გაქვთერთიგანტოლება ორ ცვლადთან, თქვენ ალბათ მოგეთხოვებათ ამოხსნათ მხოლოდ ერთი ცვლადისთვის. ამ შემთხვევაში თქვენ დაიცავთ იმავე პროცედურას, რასაც გამოიყენებდით ნებისმიერი ცვლადის ალგებრული განტოლებისთვის. განვიხილოთ მაგალითი
5x + 4 = 2y
თუ თქვენ მოგეთხოვებათ ამის გადაწყვეტაx.
გამოტოვეთ 3 განტოლების თითოეული მხრიდან და დატოვეთxტერმინი თავისთავად ტოლობის ნიშნის ერთ მხარეს:
5x = 2y - 4
განტოლების ორივე მხარე გაყავით 5-ზე, რომ კოეფიციენტი ამოიღოთxტერმინი:
x = \ frac {2y - 4} {5}
თუ სხვა ინფორმაცია არ მოგეცათ, ეს იმდენად რამდენადაც შეგიძლიათ გამოთვალოთ.
ორი ცვლადის ორი განტოლების ამოხსნა
თუ თქვენ მოგეცემათ სისტემა (ან ჯგუფი)ორიგანტოლებები, რომლებსაც აქვთ იგივე ორი ცვლადი, ეს ნიშნავს, რომ განტოლებები დაკავშირებულია - და თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ტექნიკა, რომელსაც ეწოდება შეცვლა, რომ იპოვოთ მნიშვნელობები ორივე ცვლადისთვის. განვიხილოთ განტოლება ბოლო მაგალითიდან, პლუს მეორე, დაკავშირებული განტოლება, რომელიც იყენებს იგივე ცვლადებს:
5x + 4 = 2y \\ x + 3y = 23
აირჩიეთ ერთი განტოლება და ამოხსენით ეს განტოლება რომელიმე ცვლადისთვის. ამ შემთხვევაში გამოიყენეთ ის, რაც უკვე იცით პირველი განტოლების შესახებ წინა მაგალითიდან, რომლისთვისაც უკვე ამოხსენითx:
x = \ frac {2y - 4} {5}
შეცვალეთ შედეგი ნაბიჯი 1-დან სხვა განტოლებაში. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შეცვალეთ მნიშვნელობა (2y- 4) / 5 ნებისმიერი შემთხვევისთვისxსხვა განტოლებაში. ეს გაძლევთ განტოლებას მხოლოდ ერთი ცვლადით:
\ frac {2y - 4} {5} + 3y = 23
გაამარტივეთ განტოლება ნაბიჯი 2-დან და ამოხსენით დარჩენილი ცვლადი, რაც ამ შემთხვევაში არისy
დაიწყეთ ორივე მხარის გამრავლებით 5-ზე:
5 big \ bigg (\ frac {2y - 4} {5} + 3y \ bigg) = 5 × 23
ეს ამარტივებს შემდეგს:
2y - 4 + 15y = 115
მსგავსი ტერმინების შერწყმის შემდეგ, ეს კიდევ უფრო გამარტივდება:
17y = 119
დაბოლოს, ორივე მხარის 17-ზე გაყოფის შემდეგ, თქვენ გაქვთ:
y = 7
შეცვალეთ მნიშვნელობა ნაბიჯი 3-დან, განტოლებაში ნაბიჯი 1-დან. ეს გაძლევთ:
x = \ frac {(2 × 7) - 4} {5}
რაც ამარტივებს ღირებულების გამოვლენასx:
x = 2
ამ განტოლების სისტემის ამოხსნა არისx= 2 დაy = 7.