განტოლების სისტემების გადასაჭრელად ყველაზე ხშირად გამოყენებული სამი მეთოდია ჩანაცვლება, აღმოფხვრა და გაზრდილი მატრიცა. ჩანაცვლება და აღმოფხვრა არის მარტივი მეთოდები, რომლებსაც შეუძლიათ ეფექტურად გადაწყვიტონ ორი განტოლების სისტემების უმეტესობა რამდენიმე მარტივი ნაბიჯით. გაზრდილი მატრიცების მეთოდი მოითხოვს მეტ ნაბიჯებს, მაგრამ მისი გამოყენება ვრცელდება სისტემების უფრო მრავალფეროვნებაზე.
Ცვლილება
ჩანაცვლება არის განტოლების სისტემების ამოხსნის მეთოდი, ყველა ერთის განტოლებაში ყველა ცვლადის ამოღებით და შემდეგ ამ განტოლების ამოხსნით. ეს მიიღწევა სხვა ცვლადის განტოლებაში იზოლირებით და შემდეგ ამ ცვლადების მნიშვნელობებით ჩანაცვლებით სხვა სხვა განტოლებაში. მაგალითად, x + y = 4, 2x - 3y = 3 განტოლების სისტემის ამოსახსნელად, x– ის ცვლადის იზოლირება პირველში განტოლება x = 4 - y მისაღებად, შემდეგ y- ის ეს მნიშვნელობა ჩაანაცვლეთ მეორე განტოლებაში და მიიღეთ 2 (4 - y) - 3y = 3. ეს განტოლება გამარტივდება -5y = -5, ან y = 1. ჩასვით ეს მნიშვნელობა მეორე განტოლებაში, რომ იპოვოთ x მნიშვნელობა: x + 1 = 4 ან x = 3.
აღმოფხვრა
ელიმინაცია არის განტოლებათა სისტემების ამოხსნის კიდევ ერთი გზა მხოლოდ ერთი ცვლადის თვალსაზრისით ერთ-ერთი განტოლების გადაწერით. ელიმინაციის მეთოდი ამას აღწევს, ერთმანეთისგან განტოლებების დამატებით ან გამოკლებით, რომ გაუქმდეს რომელიმე ცვლადი. მაგალითად, x + 2y = 3 და 2x - 2y = 3 განტოლების დამატება ახდენს ახალ განტოლებას, 3x = 6 (გაითვალისწინეთ, რომ y ტერმინები გაუქმებულია). შემდეგ სისტემა წყდება იმავე მეთოდების გამოყენებით, რაც ჩანაცვლებისთვის. თუ განტოლებაში ცვლადების გაუქმება შეუძლებელია, საჭიროა მთლიანი განტოლების გამრავლება ფაქტორზე, რომ კოეფიციენტები ერთმანეთს ემთხვეოდეს.
დამატებული მატრიცა
განტოლებათა სისტემების ამოსახსნელად შეიძლება გამოყენებულ იქნას დამატებული მატრიცები. გაზრდილი მატრიცა შედგება სტრიქონებისგან თითოეული განტოლებისთვის, სვეტებისა თითოეული ცვლადისთვის და გაფართოებული სვეტისგან, რომელიც შეიცავს განტოლების მეორე მხარეს მუდმივ ტერმინს. მაგალითად, 2x + y = 4, 2x - y = 0 განტოლების სისტემის augmented matrix არის [[2 1], [2 -1]... [4, 0]].
ამოხსნის განსაზღვრა
შემდეგი ეტაპი მოიცავს რიგის ელემენტარული ოპერაციების გამოყენებას, როგორიცაა მწკრივის გამრავლება ან გაყოფა მუდმივზე ნულის გარდა და მწკრივების დამატება ან გამოკლება. ამ ოპერაციების მიზანია მატრიცის გადატანა row-ephelon ფორმაში, რომელშიც პირველი არა ნულოვანი ჩანაწერი თითოეულ სტრიქონში არის 1, ჩანაწერები ამ ჩანაწერის ზემოთ და ქვემოთ არის ყველა ნული, და პირველი რიგის არა ნულოვანი ჩანაწერი ყოველთვის მარჯვნივ არის სტრიქონების ყველა ასეთი ჩანაწერიდან მასზე მაღლა. ზემო ეშელონის ფორმა ზემოთ მოცემული მატრიცისთვის არის [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. პირველი ცვლადის მნიშვნელობა მოცემულია პირველი რიგის მიერ (1x + 0y = 1 ან x = 1). მეორე ცვლადის მნიშვნელობა მოცემულია მეორე რიგის მიერ (0x + 1y = 2 ან y = 2).
პროგრამები
ჩანაცვლება და აღმოფხვრა განტოლების ამოხსნის უფრო მარტივი მეთოდია და ბევრად უფრო ხშირად გამოიყენება, ვიდრე დამატებით მატრიზებს ძირითად ალგებრაში. ჩანაცვლების მეთოდი განსაკუთრებით სასარგებლოა, როდესაც ერთ-ერთი ცვლადი უკვე იზოლირებულია ერთ განტოლებაში. ელიმინაციის მეთოდი სასარგებლოა, როდესაც რომელიმე ცვლადის კოეფიციენტი იგივეა (ან მისი უარყოფითი ეკვივალენტი) ყველა განტოლებაში. გაზრდილი მატრიცების ძირითადი უპირატესობა ის არის, რომ ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას სამი ან მეტი განტოლების სისტემების გადასაჭრელად იმ სიტუაციებში, როდესაც ჩანაცვლება და აღმოფხვრა შეუძლებელია ან შეუძლებელია.