კვადრატული განტოლებების ფაქტორირების ხრიკები

კვადრატული განტოლებები არის ფორმულები, რომელთა ჩაწერა შესაძლებელია Ax ^ 2 + Bx + C = 0 სახით. ზოგჯერ, კვადრატული განტოლება შეიძლება გამარტივდეს ფაქტორინგით, ან განტოლების გამოხატვით, როგორც ცალკეული ტერმინების პროდუქტი. ამან შეიძლება გაადვილოს განტოლების ამოხსნა. ფაქტორების იდენტიფიცირება ზოგჯერ რთულია, მაგრამ არსებობს ხრიკები, რომელთა საშუალებით შესაძლებელია პროცესის გამარტივება.

შეისწავლეთ კვადრატული განტოლება იმის დასადგენად, არის თუ არა რიცხვი და / ან ცვლადი, რომელსაც შეუძლია გაყო განტოლების თითოეული ტერმინი. მაგალითად, განვიხილოთ განტოლება 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0. ყველაზე დიდი რიცხვი, რომელსაც შეუძლია განტოლების თითოეულ ტერმინში თანაბრად გაყო, არის 2, ამიტომ 2 არის ყველაზე დიდი საერთო ფაქტორი (GCF).

განტოლებაში თითოეული ტერმინი დაყავით GCF და გავამრავლოთ მთელი განტოლება GCF. მაგალითის განტოლება 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0, ეს გამოიწვევს 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).

გამოხატვის გამარტივება თითოეულ ტერმინში დაყოფის დასრულებით. საბოლოო განტოლებაში არ უნდა იყოს ფრაქციები. მაგალითში, ეს გამოიწვევს 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.

გაეცანით კვადრატულ განტოლებას, არის თუ არა ის Ax ^ 2 + 0x - C = 0, სადაც A = y ^ 2 და C = z ^ 2. თუ ეს ასეა, კვადრატული განტოლება გამოხატავს ორი კვადრატის სხვაობას. მაგალითად, განტოლება 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2 ^ 2 და C = 9 = 3 ^ 2, ასე რომ y = 2 და z = 3.

ფაქტორი განტოლება ფორმაში (yx + z) (yx - z) = 0. მაგალითის განტოლებაში, y = 2 და z = 3; ამიტომ ფაქტორიანი კვადრატული განტოლებაა (2x + 3) (2x - 3) = 0. ეს ყოველთვის იქნება კვადრატული განტოლების ფაქტორირებული ფორმა, რომელიც წარმოადგენს კვადრატების სხვაობას.

შეისწავლეთ კვადრატული განტოლება, არის თუ არა ეს სრულყოფილი კვადრატი. თუ კვადრატული განტოლება არის სრულყოფილი კვადრატი, ის შეიძლება დაიწეროს y ^ 2 + 2yz + z ^ 2 სახით, მაგალითად განტოლება 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, რომლის გადაწერა შესაძლებელია როგორც (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. ამ შემთხვევაში, y = 2x და z = 3.

შეამოწმეთ დადებითია თუ არა ტერმინი 2yz. თუ ტერმინი დადებითია, სრულყოფილი კვადრატული კვადრატული განტოლების ფაქტორები ყოველთვის არის (y + z) (y + z). მაგალითად, ზემოთ მოცემულ განტოლებაში 12x დადებითია, ამიტომ ფაქტორებია (2x + 3) (2x + 3) = 0.

შეამოწმეთ არის თუ არა უარყოფითი ტერმინი 2yz. თუ ტერმინი უარყოფითია, ფაქტორები ყოველთვის არის (y - z) (y - z). მაგალითად, თუ ზემოთ განტოლებას ჰქონდა 12-ის ნაცვლად ტერმინი -12x, ფაქტორები იქნებოდა (2x - 3) (2x - 3) = 0.

კვადრატული განტოლების ფაქტორირებული ფორმის დაყენება წერილობით (vx + w) (yx + z) = 0. გაიხსენეთ ფოლგის გამრავლების წესები (პირველი, გარეთ, შიგნით, ბოლო). რადგან კვადრატული განტოლების პირველი ტერმინი არის Ax ^ 2, განტოლების ორივე ფაქტორი უნდა შეიცავდეს x- ს.

ამოხსენით v და y კვადრატულ განტოლებაში A– ს ყველა ფაქტორის გათვალისწინებით. თუ A = 1, მაშინ v და y ყოველთვის იქნება 1. მაგალითში განტოლება x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, ასე რომ, v და y შეიძლება ამოხსნათ ფაქტორირებულ განტოლებაში (1x + w) (1x + z) = 0.

განსაზღვრეთ w და ​​z დადებითია თუ უარყოფითი. მოქმედებს შემდეგი წესები: C = პოზიტიური და B = პოზიტიური; ორივე ფაქტორს აქვს + ნიშანი C = დადებითი და B = უარყოფითი; ორივე ფაქტორს აქვს - ნიშანი C = უარყოფითი და B = პოზიტიური; უდიდესი მნიშვნელობის მქონე ფაქტორს აქვს + ნიშანი C = უარყოფითი და B = უარყოფითი; ყველაზე დიდი მნიშვნელობის მქონე ფაქტორს აქვს ნიშანი - მაგალითში განტოლებაში ნაბიჯი 2, B = -9 და C = +8, ასე რომ განტოლების ორივე ფაქტორს ექნება - ნიშნები, და ფაქტორირებული განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც (1x - w) (1x - z) = 0.

შეადგინეთ C ყველა ფაქტორის ჩამონათვალი, რომ იპოვოთ w და ​​z მნიშვნელობები. ზემოთ მოყვანილ მაგალითში C = 8, ამიტომ ფაქტორებია 1 და 8, 2 და 4, -1 და -8 და -2 და -4. ფაქტორები უნდა დაემატოს B- ს, რომელიც მაგალითში განტოლებაში არის -9, ასე რომ w = -1 და z = -8 (ან პირიქით) და ჩვენი განტოლება სრულად არის ფაქტორირებული (1x - 1) (1x - 8) = 0

შეამცირეთ განტოლება უმარტივესი ფორმით, ზემოთ ჩამოთვლილი Greatest Common Factor მეთოდის გამოყენებით. მაგალითად, 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0 განტოლებაში, GCF არის 9, ამიტომ განტოლება გამარტივდება 9-მდე (x ^ 2 + 3x - 10).

დახაზეთ ყუთი და გაყავით მაგიდაზე, რომელსაც აქვს ორი რიგი და ორი სვეტი. გამარტივებული განტოლების Ax ^ 2 ჩასვით მე -2 რიგში, მე –2 სვეტში და გამარტივებული განტოლების C.

გამრავლებული A C- ზე და იპოვნეთ პროდუქტის ყველა ფაქტორი. ზემოთ მოყვანილ მაგალითში, A = 1 და C = -10, ამიტომ პროდუქტი არის (1) (- 10) = -10. -10 ფაქტორებია -1 და 10, -2 და 5, 1 და -10 და 2 და -5.

განსაზღვრეთ, თუ AC პროდუქტის რომელი ფაქტორია დაამატეთ B- ს. მაგალითში, B = 3. -10-ის ფაქტორები, რომლებიც 3-ს ემატება არის -2 და 5.

თითოეული გამოვლენილი ფაქტორი გავამრავლოთ x -ზე. ზემოთ მოყვანილ მაგალითში ეს გამოიწვევს -2x და 5x. განათავსეთ ეს ორი ახალი ტერმინი დიაგრამის ორ ცარიელ სივრცეში, ისე, რომ ცხრილი ასე გამოიყურებოდეს:

x ^ 2 | 5x

-2x | -10

იპოვნეთ GCF უჯრის თითოეული მწკრივისა და სვეტისთვის. მაგალითში, CGF ზედა მწკრივისთვის არის x, ხოლო ქვედა რიგისთვის -2. GCF პირველი სვეტისთვის არის x, ხოლო მეორე სვეტისთვის არის 5.

დაწერეთ ფაქტორირებული განტოლება ფორმით (w + v) (y + z) დიაგრამის მწკრივებიდან გამოვლენილი ფაქტორების გამოყენებით w და ​​v, და y და z სქემების სვეტებისგან გამოვლენილი ფაქტორების გამოყენებით. თუ განტოლება გამარტივდა ნაბიჯ 1-ში, გახსოვდეთ, რომ განტოლების GCF ჩართეთ ფაქტორირებულ გამოხატვაში. მაგალითის შემთხვევაში, ფაქტორირებული განტოლება იქნება 9 (x - 2) (x + 5) = 0.

დარწმუნდით, რომ განტოლება არის სტანდარტული კვადრატული ფორმა, სანამ რომელიმე აღწერილი მეთოდით დაიწყებთ.

ყოველთვის ადვილი არ არის სრულყოფილი კვადრატის ან კვადრატების სხვაობის დადგენა. თუ სწრაფად დაინახავთ, რომ კვადრატული განტოლება, რომლის ფაქტორიზაციასაც ცდილობთ, ერთ-ერთი ასეთი ფორმაა, მაშინ ეს დიდ დახმარებას დაგეხმარებათ. ამასთან, ნუ დახარჯავთ დიდ დროს ამის გარკვევაში, რადგან სხვა მეთოდები შეიძლება უფრო სწრაფი იყოს.

ყოველთვის შეამოწმეთ თქვენი სამუშაო FOIL მეთოდის გამოყენებით ფაქტორების გამრავლებით. ფაქტორები ყოველთვის უნდა გამრავლდეს ორიგინალ კვადრატულ განტოლებაზე.