დაწყებითი ალგებრა მათემატიკის ერთ-ერთი მთავარი დარგია. ალგებრა შემოგვთავაზებს ცვლადების გამოყენების კონცეფციას ციფრების გამოსახატავად და განსაზღვრავს წესებს, თუ როგორ უნდა მოხდეს ამ ცვლადების განტოლებების მანიპულირება ცვლადები მნიშვნელოვანია, რადგან ისინი იძლევა განზოგადებული მათემატიკური კანონების ფორმულირებას და იძლევა განტოლებებში უცნობი რიცხვების შეტანის საშუალებას. სწორედ ეს უცნობი ციფრები წარმოადგენს ალგებრის პრობლემების ფოკუსს, რომლებიც, როგორც წესი, გიბიძგებთ მითითებული ცვლადის გადასაჭრელად. ალგებრის "სტანდარტული" ცვლადები ხშირად წარმოდგენილია x და y სახით.
ხაზოვანი და პარაბოლური განტოლებების ამოხსნა
განტოლების მხრიდან ცვლადიდან ნებისმიერი მუდმივი მნიშვნელობის გადატანა ტოლობის ნიშნის მეორე მხარეს. მაგალითად, განტოლებისთვის
4x ^ 2 + 9 = 16
გამოტოვე 9 განტოლების ორივე მხრიდან 9-დან ცვლადის გვერდიდან ამოსაღებად:
4x ^ 2 + 9 - 9 = 16 - 9
რაც ამარტივებს
4x ^ 2 = 7
განტოლება დაიყოს ცვლადი ტერმინის კოეფიციენტზე. Მაგალითად,
\ text {if} 4x ^ 2 = 7 \ text {then} \ frac {4x ^ 2} {4} = \ frac {7} {4}
რის შედეგადაც
x ^ 2 = 1,75
მიიღეთ განტოლების სათანადო ფესვი ცვლადის ექსპონენტის ამოსაღებად. Მაგალითად,
\ text {if} x ^ 2 = 1.75 \ text {then} \ sqrt {x ^ 2} = \ sqrt {1.75}
რის შედეგადაც
x = 1,32
გადაჭერით რადიკალებთან მითითებული ცვლადისთვის
ცვლადის შემცველი გამოხატვის გამოყოფა შესაბამისი არითმეტიკული მეთოდის გამოყენებით ცვლადის მხარეს არსებული მუდმივის გასაუქმებლად. მაგალითად, თუ
\ sqrt {x + 27} + 11 = 15
თქვენ გამოყოფდით ცვლადს გამოკლების გამოყენებით:
\ sqrt {x + 27} + 11 - 11 = 15 - 11 = 4
განტოლების ორივე მხარე აწიეთ ცვლადის ფესვის ძალაზე, რომ ცვლადი ძირისგან გათავისუფლდეს. Მაგალითად,
\ sqrt {x + 27} = 4 \ text {then} (\ sqrt {x + 27}) ^ 2 = 4 ^ 2
რომელიც გაძლევს
x + 27 = 16
ცვლადის იზოლირება შესაბამისი არითმეტიკული მეთოდის გამოყენებით ცვლადის გვერდზე არსებული მუდმივის გასაუქმებლად. მაგალითად, თუ
x + 27 = 16
გამოკლების გამოყენებით:
x = 16 - 27 = -11
კვადრატული განტოლებების ამოხსნა
ტოლობის ტოლი დააყენე ნულის ტოლი. მაგალითად, განტოლებისთვის
2x ^ 2 - x = 1
ორივე მხრიდან გამოაკელით 1, რომ განტოლება იყოს ნულის ტოლი
2x ^ 2 - x - 1 = 0
ფაქტორი ან შეავსეთ კვადრატული კვადრატი, რომელი უფრო ადვილია. მაგალითად, განტოლებისთვის
2x ^ 2 - x - 1 = 0
ამის ფაქტორი ყველაზე ადვილია:
2x ^ 2 - x - 1 = 0 \ ტექსტი {ხდება} (2x + 1) (x - 1) = 0
ცვლადის განტოლების ამოხსნა. მაგალითად, თუ
(2x + 1) (x - 1) = 0
მაშინ განტოლება ტოლია ნულის, როდესაც:
2x + 1 = 0
გულისხმობს ამას
2x = -1 \ ტექსტი {, ასე რომ} x = - \ frac {1} {2}
ან როდის
\ text {when} x - 1 = 0 \ text {, მიიღებთ} x = 1
ეს არის კვადრატული განტოლების ამოხსნები.
წილადების ამოხსნის განტოლება
ფაქტორი თითოეული მნიშვნელი. Მაგალითად,
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {x ^ 2 - 9}
შეიძლება ფაქტორი გახდეს:
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {(x - 3) (x + 3)}
განტოლების თითოეული მხარე გამრავლეთ მნიშვნელების სულ მცირე საერთო ჯერადზე. ყველაზე ნაკლებად გავრცელებული მრავლობითი არის გამოთქმა, რომელზეც თითოეულ მნიშვნელს შეუძლია თანაბრად გაყო. განტოლებისთვის
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {(x - 3) (x + 3)}
ყველაზე მცირე საერთო მრავლობითია (x − 3)(x+ 3). Ისე,
(x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} \ bigg) = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
ხდება
\ frac {(x - 3) (x + 3)} {x - 3} + \ frac {(x - 3) (x + 3)} {x + 3} = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
გააუქმეთ პირობები და გადაწყვიტეთx. მაგალითად, განტოლების პირობების გაუქმება
\ frac {(x - 3) (x + 3)} {x - 3} + \ frac {(x - 3) (x + 3)} {x + 3} = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
იძლევა:
(x + 3) + (x - 3) = 10
Მიყავს
2x = 10 \ ტექსტი {და} x = 5
საქმე ექსპონენციალურ განტოლებებთან
იზოლირებული გამოსახულების გამოყოფა ნებისმიერი მუდმივი ტერმინების გაუქმებით. Მაგალითად,
100 × (14 ^ x) + 6 = 10
ხდება
\ დაწყება {გასწორება} 100 (14 ^ x) + 6 - 6 & = 10 - 6 \\ & = 4 \ დასრულება {გასწორებული}
გააუქმეთ ცვლადის კოეფიციენტი ორივე მხარის დაყოფით კოეფიციენტზე. Მაგალითად,
100 (14 ^ x) = 4
ხდება
\ frac {100 × (14 ^ x)} {100} = \ frac {4} {100} \\ \, \\ 14 ^ x = 0,04
აიღეთ განტოლების ბუნებრივი ჟურნალი ცვლადის შემცველი მაჩვენებლის ჩამოსაყვანად. Მაგალითად,
14 ^ x = 0,04
შეიძლება დაიწეროს როგორც (ლოგარითმების ზოგიერთი თვისების გამოყენებით):
\ ln (14 ^ x) = \ ln (0,04) \\ x × \ ln (14) = \ ln \ bigg (\ frac {1} {25} \ bigg) \\ x × \ ln (14) = \ ln (1) - \ ln (25) \\ x × \ ln (14) = 0 - \ ln (25)
ცვლადის განტოლების ამოხსნა. Მაგალითად,
x × \ ln (14) = 0 - \ ln (25) \ text {ხდება} x = \ frac {- \ ln (25)} {\ ln (14)} = -1,22
გამოსავალი ლოგარითმული განტოლებებისათვის
ცვლადის ბუნებრივი ჟურნალის გამოყოფა. მაგალითად, განტოლება
2 \ ln (3x) = 4 \ text {ხდება} \ ln (3x) = \ frac {4} {2} = 2
ჟურნალი განტოლების ექსპონენციალურ განტოტებად გადააკეთეთ შესაბამისი ფუძის ექსპონენტამდე შესამაგრებლად. Მაგალითად,
\ ln (3x) = 2
ხდება:
e ^ {\ ln (3x)} = e ^ 2
ცვლადის განტოლების ამოხსნა. Მაგალითად,
e ^ {\ ln (3x)} = e ^ 2
ხდება
\ frac {3x} {3} = \ frac {e ^ 2} {3} \ ტექსტი {ასე} x = 2.46