როგორ ამოვხსნათ კუბური განტოლებები

მრავალწევრის ფუნქციების ამოხსნა ძირითადი უნარია მათემატიკის ან ფიზიკის შემსწავლელთათვის, მაგრამ პროცესის გათავისება - განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც საქმე უფრო მაღალი ხარისხის ფუნქციებს ეხება, საკმაოდ რთული იქნება. კუბური ფუნქცია მრავალწევრის განტოლების ერთ-ერთი ყველაზე რთული ტიპია, რომლის გადაჭრა შესაძლოა ხელით მოგიწიოთ. მართალია ეს შეიძლება არც ისე მარტივი იყოს, როგორც კვადრატული განტოლების ამოხსნა, არსებობს რამდენიმე მეთოდი შეგიძლიათ გამოიყენოთ კუბური განტოლების ამოხსნის მოსაძიებლად, დეტალური გვერდების და გვერდების გარეშე ალგებრა.

კუბური ფუნქცია არის მესამე ხარისხის მრავალწევრი. ზოგადი მრავალწევრის ფუნქციას აქვს ფორმა:

Აქ, x არის ცვლადი, ნ უბრალოდ ნებისმიერი რიცხვია (და მრავალწევრის ხარისხი), კ არის მუდმივი და დანარჩენი ასოები მუდმივი კოეფიციენტებია თითოეული სიმძლავრისთვის x. კუბურ ფუნქციას აქვს ნ = 3 და მარტივია:

სად ამ შემთხვევაში, დ მუდმივია. ზოგადად რომ ვთქვათ, როდესაც კუბური განტოლების ამოხსნა მოგიწევთ, თქვენ მოგეცემათ შემდეგი ფორმით:

თითოეული გამოსავალი x განტოლების "ფესვს" უწოდებენ. კუბურ განტოლებებს ან აქვთ ერთი რეალური ფესვი ან სამი, თუმცა შეიძლება განმეორდეს, მაგრამ ყოველთვის არის ერთი გამოსავალი მაინც.

განტოლების ტიპი განისაზღვრება უმაღლესი სიმძლავრით, ამიტომ ზემოთ მოყვანილ მაგალითში ეს არ იქნებოდა კუბური განტოლება, თუ a = 0, რადგან უმაღლესი დენის ტერმინი იქნება bx² და ეს იქნებოდა კვადრატული განტოლება. ეს ნიშნავს, რომ ქვემოთ მოცემულია კუბური განტოლებები:

კუბური განტოლების ამოხსნის უმარტივესი გზა მოიცავს გარკვეულ გამოცნობასა და პროცესის ალგორითმულ ტიპს, რომელსაც სინთეზური დაყოფა ეწოდება. დასაწყისი, ძირითადად, იგივეა, რაც ცდისა და შეცდომის მეთოდი კუბური განტოლების ამონახსნებისთვის. გამოცდით, შეიტყვეთ რა არის ერთი ფესვი. თუ თქვენ გაქვთ განტოლება, სადაც პირველი კოეფიციენტი, ა, უდრის 1-ს, მაშინ ოდნავ ადვილია ერთი ფესვის გამოცნობა, რადგან ისინი ყოველთვის არიან მუდმივი ტერმინის ფაქტორები, რომლებიც ზემოთ წარმოდგენილია დ.

მაგალითად, შემდეგ განტოლებას ვუყურებთ:

თქვენ უნდა გამოიცნოთ ერთ-ერთი მნიშვნელობა x, მაგრამ მას შემდეგ ა = 1 ამ შემთხვევაში თქვენ იცით, რომ რაც არ უნდა იყოს მნიშვნელობა, ის 24-ის კოეფიციენტი უნდა იყოს. პირველი ასეთი ფაქტორია 1, მაგრამ ეს დატოვებს:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

რაც არ არის ნულოვანი და −1 დატოვებს:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

რაც ისევ არ არის ნული. შემდეგი, x = 2 მისცემდა:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

კიდევ ერთი მარცხი. ცდილობს x = −2 იძლევა:

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

Ეს ნიშნავს x = −2 არის კუბური განტოლების ფუძე. ეს აჩვენებს ცდისა და შეცდომის მეთოდის სარგებელს და უარყოფით მხარეებს: პასუხის მიღება ბევრის გარეშე შეგიძლიათ ფიქრობდა, მაგრამ ეს შრომატევადია (მით უმეტეს, თუ ფესვის პოვამდე მოგიწევთ უფრო მაღალ ფაქტორებზე გადასვლა). საბედნიეროდ, როდესაც იპოვნეთ ერთი ფუძე, დანარჩენი განტოლების მოგვარება მარტივად შეგიძლიათ.

მთავარია ფაქტორის თეორემის შეტანა. ეს აცხადებს, რომ თუ x = s არის გამოსავალი, მაშინ (x – ს) არის ფაქტორი, რომლის გამოყვანა შესაძლებელია განტოლებიდან. ამ სიტუაციისთვის, ს = −2 და ა.შ. (x + 2) არის ფაქტორი, რომლის დატოვებაც შეგვიძლია:

ფრჩხილების მეორე ჯგუფის ტერმინებს აქვთ კვადრატული განტოლების ფორმა, ასე რომ, თუ იპოვნეთ შესაბამისი მნიშვნელობები ა და ბ, განტოლება შეიძლება ამოხსნან.

ეს შეიძლება განხორციელდეს სინთეზური დაყოფის გამოყენებით. პირველი, ჩამოწერეთ ორიგინალური განტოლების კოეფიციენტები ცხრილის ზედა მწკრივზე, გამყოფი ხაზით და შემდეგ ცნობილი ფესვი მარჯვნივ:

დატოვეთ ერთი სათადარიგო რიგი, შემდეგ კი დაამატეთ ჰორიზონტალური ხაზი მის ქვემოთ. პირველი, წაიყვანეთ პირველი რიცხვი (ამ შემთხვევაში 1) ქვემოთ თქვენი ჰორიზონტალური ხაზის ქვემოთ

ახლა გავამრავლოთ ახლახან ჩამოტანილი რიცხვი ცნობილ ფესვზე. ამ შემთხვევაში, 1 × −2 = −2, და ეს წერია სიაში შემდეგი ნომრის ქვემოთ, შემდეგნაირად:

შემდეგ დაამატეთ ნომრები მეორე სვეტში და განათავსეთ შედეგი ჰორიზონტალური ხაზის ქვემოთ:

ახლა გაიმეორეთ ის პროცესი, რომელიც ახლახან გაიარეთ ჰორიზონტალური ხაზის ქვემოთ მოცემული ახალი ნომრით: გამრავლეთ root, მოათავსეთ პასუხი შემდეგ სვეტში ცარიელ სივრცეში და შემდეგ დაამატეთ სვეტი, რომ მიიღოთ ახალი ნომერი ქვედა რიგი. ეს ტოვებს:

შემდეგ კი საბოლოოდ გაიარეთ პროცესი.

ის ფაქტი, რომ ბოლო პასუხი არის ნულოვანი, გეუბნებათ, რომ თქვენ გაქვთ სწორი ფესვი, ასე რომ, თუ ეს არ არის ნული, მაშინ სადმე შეცდით შეცდომა.

ახლა, ქვედა მწკრივში მოცემულია ფრჩხილების მეორე ნაკრების სამი ტერმინის ფაქტორები, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ:

Ამიტომაც:

ეს არის გადაჭრის ყველაზე მნიშვნელოვანი ეტაპი, რომლის დასრულებაც მრავალმხრივ შეგიძლიათ ამ მომენტიდან.

ფაქტორის ამოღების შემდეგ, შეგიძლიათ იპოვოთ გამოსავალი ფაქტორიზაციის გამოყენებით. ზემოთ მოცემული ნაბიჯიდან, ეს, ძირითადად, იგივე პრობლემაა, როგორც კვადრატული განტოლების ფაქტორირება, რაც ზოგიერთ შემთხვევაში შეიძლება რთული იყოს. ამასთან, გამოთქმისთვის:

თუ გახსოვთ, რომ ფრჩხილებში ჩასმული ორი რიცხვი უნდა დაამატოთ მეორე კოეფიციენტის (7) მისაცემად და გამრავლებით მესამეზე (12), ამ შემთხვევაში ამის დანახვა საკმაოდ მარტივია:

თუ გსურთ, ამის გამრავლება შეგიძლიათ შეამოწმოთ. ნუ იგრძნობთ იმედგაცრუებას, თუ დაუყოვნებლივ ვერ ხედავთ ფაქტორიზაციას; ამას ცოტა პრაქტიკა სჭირდება. ეს ტოვებს თავდაპირველ განტოლებას:

რომელსაც დაუყოვნებლივ ხედავთ, აქვს გადაწყვეტილებები x = −2, 3 და 4 (ყველა 24-ის ფაქტორია, თავდაპირველი მუდმივა). თეორიულად, შესაძლოა ასევე შესაძლებელი იყოს განზომილების ორიგინალიდან დაწყებული მთლიანი ფაქტორიზაციის დანახვა, მაგრამ ეს ბევრია უფრო რთული, ამიტომ უმჯობესია იპოვოთ ერთი გამოსავალი ცდისა და შეცდომისგან და გამოიყენოთ ზემოთ მოცემული მიდგომა, სანამ დააკვირდებით ა ფაქტორიზაცია.

თუ ფაქტორიზაციის დანახვა გიჭირთ, შეგიძლიათ გამოიყენოთ კვადრატული განტოლების ფორმულა:

დარჩენილი გადაწყვეტილებების მოსაძებნად.

მიუხედავად იმისა, რომ საქმე ბევრად უფრო დიდია და ნაკლებად მარტივია, არსებობს მარტივი კუბური განტოლების ამოხსნა კუბური ფორმულის სახით. ეს ჰგავს კვადრატული განტოლების ფორმულას, რომლითაც უბრალოდ შეიყვანეთ თქვენი მნიშვნელობები ა, ბ, გ და დ მიიღონ გამოსავალი, მაგრამ გაცილებით გრძელია.

მასში ნათქვამია:

სად

და

ამ ფორმულის გამოყენება შრომატევადია, მაგრამ თუ არ გსურთ გამოიყენოთ ცდა და შეცდომის მეთოდი კუბური განტოლების ამონახსნებისთვის და შემდეგ კვადრატული ფორმულა, ეს იმუშავებს, როდესაც ყველაფერს გაივლით.