ალგებრა ხშირად გულისხმობს გამონათქვამების გამარტივებას, მაგრამ ზოგიერთი გამოთქმა უფრო გაუგებარია, ვიდრე სხვა. კომპლექსური რიცხვები მოიცავს რაოდენობას, რომელიც ცნობილია როგორცმე, "წარმოსახვითი" რიცხვი თვისებითმე= √−1. თუ მარტივად უნდა გამოხატოთ რთული რიცხვის შემცველი გამოთქმა, ეს შეიძლება მოგეჩვენოთ შემაშფოთებელი, მაგრამ ეს არის მარტივი პროცესი, თუ გაეცნობით ძირითად წესებს.
TL; DR (ძალიან გრძელია; არ წავიკითხე)
რთული რიცხვების გამარტივება ალგებრის წესების დაცვით რთული რიცხვებით.
რა არის რთული რიცხვი?
რთული რიცხვები განისაზღვრება მათი ჩათვლითმეტერმინი, რომელიც არის მინუს ერთის კვადრატული ფესვი. საბაზისო დონის მათემატიკაში უარყოფითი რიცხვების კვადრატული ფესვები ნამდვილად არ არსებობს, მაგრამ ისინი ზოგჯერ ავლენენ ალგებრის პრობლემებში. რთული ფორმის ზოგადი ფორმა გვიჩვენებს მათ სტრუქტურას:
z = a + bi
სადზკომპლექსური რიცხვის იარლიყებს,აწარმოადგენს ნებისმიერ რიცხვს (სახელწოდებით "ნამდვილი") დაბწარმოადგენს სხვა რიცხვს (ე.წ. ”წარმოსახვით” ნაწილს), რომელიც ორივე შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი. მაგალითად, რთული რიცხვის მაგალითია:
z = 2 4i
მას შემდეგ, რაც უარყოფითი რიცხვების ყველა კვადრატული ფესვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ნამრავლებითმე, ეს არის ფორმა ყველა რთული რიცხვისთვის. ტექნიკურად, ჩვეულებრივი რიცხვი უბრალოდ აღწერს რთული რიცხვის სპეციალურ შემთხვევას, სადაცბ= 0, ასე რომ ყველა რიცხვი შეიძლება ჩაითვალოს რთულად.
ალგებრის ძირითადი წესები რთული რიცხვებით
რთული რიცხვების შეკრებისა და გამოკლებისთვის უბრალოდ ცალკე დაამატე ან გამოკლე რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები. ასე რომ, რთული რიცხვებისთვისზ = 2 – 4მედავ = 3 + 5მე, ჯამი არის:
\ დაწყება {გასწორება} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + მე \ დასრულება {გასწორებული}
ციფრების გამოკლება ანალოგიურად მუშაობს:
\ დაწყება {გასწორება} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2 - 3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ დასრულება {გასწორებული }
გამრავლება არის კიდევ ერთი მარტივი ოპერაცია რთული რიცხვებით, რადგან ის ჩვეულებრივი გამრავლების მსგავსად მუშაობს, გარდა იმისა, რომ ეს უნდა გახსოვდეთმე2 = −1. 3-ის გამოსათვლელადმე × −4მე:
3i × -4i = -12i ^ 2
მაგრამ მას შემდეგმე2= −1, შემდეგ:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
სრული რთული რიცხვებით (გამოყენებითზ = 2 – 4მედავ = 3 + 5მეისევ), თქვენ ამრავლებთ მათ ისევე, როგორც ჩვეულებრივი რიცხვებით, როგორიცაა (ა + ბ) (გ + დ), "პირველი, შიდა, გარე, ბოლო" (კილიტა) მეთოდის გამოყენებით,ა + ბ) (გ + დ) = ძვ + ძვ + რეკლამა + ბდ. თქვენ უნდა გახსოვდეთ ნებისმიერი ინსტანციის გამარტივებამე2. მაგალითად:
\ დაწყება {გასწორება} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ ბოლო {გასწორებული}
რთული რიცხვების გამყოფი
რთული რიცხვების დაყოფა გულისხმობს წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის გამრავლებას მნიშვნელის რთულ კონიუგატზე. რთული კონიუგატი ნიშნავს კომპლექსური რიცხვის ვერსიას, რომლის ნიშნით შებრუნებულია წარმოსახვითი ნაწილი. ასე რომზ = 2 – 4მე, რთული კონიუგატიზ = 2 + 4მედა ამისთვისვ = 3 + 5მე, ვ = 3 −5მე. პრობლემისთვის:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
კონიუგატი საჭიროავ*. ამის მიხედვით დაიყოს მრიცხველი და მნიშვნელი:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
შემდეგ მუშაობთ, როგორც წინა განყოფილებაში. მრიცხველი იძლევა:
\ დასაწყისი {გასწორებული} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ ბოლო {გასწორებული}
და მნიშვნელი იძლევა:
\ დასაწყისი {გასწორებული} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ დასრულება {გასწორებული}
Ეს ნიშნავს:
\ დაიწყოს {გასწორებული} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ ბოლო {გასწორებული}
რთული რიცხვების გამარტივება
გამოიყენეთ ზემოთ მოცემული წესები, თუ საჭიროა რთული გამონათქვამების გამარტივება. Მაგალითად:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
ამის გამარტივება შესაძლებელია მრიცხველში დამატების წესის, მნიშვნელში გამრავლების წესის და შემდეგ დაყოფის დასრულების გამოყენებით. მრიცხველისთვის:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
მნიშვნელისთვის:
\ დაწყება {გასწორება} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ დასრულება {გასწორება}
ამ ადგილას დაყენება იძლევა:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
მნიშვნელის კონიუტატით ორივე ნაწილის გამრავლება იწვევს:
\ დაწყება {გასწორება} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {გასწორებული}
ეს ნიშნავსზამარტივებს შემდეგს:
\ დაწყება {გასწორებული} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ დასრულება {გასწორებული}