თითოეულ მაღალ დონეზე ალგებრის სტუდენტმა უნდა ისწავლოს კვადრატული განტოლებების ამოხსნა. ეს არის მრავალკუთხა განტოლების ტიპი, რომელიც მოიცავს 2 – ის სიმძლავრეს, მაგრამ არცერთი უფრო მაღალია და მათ აქვთ ზოგადი ფორმანაჯახი2 + bx + გ= 0. ამის მოგვარება შეგიძლიათ კვადრატული განტოლების ფორმულის გამოყენებით, ფაქტორიზაციით ან კვადრატის შევსებით.
TL; DR (ძალიან გრძელია; არ წავიკითხე)
პირველი მოძებნეთ ფაქტორიზაცია განტოლების ამოხსნისთვის. თუ არ არის ერთი, მაგრამბკოეფიციენტი იყოფა 2-ზე, შეავსე კვადრატი. თუ არცერთი მიდგომა არ არის მარტივი, გამოიყენეთ კვადრატული განტოლების ფორმულა.
ფაქტორიზაციის გამოყენება განტოლების ამოხსნისთვის
ფაქტორიზაცია იყენებს იმ ფაქტს, რომ სტანდარტული კვადრატული განტოლების მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ თუ თქვენ შეგიძლიათ გაყო განტოლება ორ ტერმინზე, გამრავლებული ფრჩხილებში, შეგიძლიათ შეიმუშაოთ გადაწყვეტილებები იმაზე ფიქრით, თუ რა გახდის თითოეულ ფრჩხილს ნულის ტოლად. კონკრეტული მაგალითის მოყვანა:
x ^ 2 + 6x + 9 = 0
შეადარეთ ეს სტანდარტულ ფორმას:
ცული ^ 2 + bx + c = 0
მაგალითშია = 1, ბ= 6 დაგ= 9. ფაქტორიზაციის გამოწვევაა ორი რიცხვის პოვნა, რომლებიც აგროვებენ რიცხვსბადგილზე და გამრავლების ერთად მისაღებად ნომერი ადგილზეგ.
ასე რომ, ციფრების წარმოდგენა ავტორიდდაე, თქვენ ეძებთ ციფრებს, რომლებიც დააკმაყოფილებს:
დ + ე = ბ
ან ამ შემთხვევაში, თანბ = 6:
დ + ე = 6
და
d × e = გ
ან ამ შემთხვევაში, თანგ = 9:
d × e = 9
ფოკუსირება მოახდინე იმ ციფრების მოძიებაზე, რომლებიც არიან ფაქტორებიგ, და შემდეგ დაამატეთ ისინი ერთად, რომ ნახოთ, ტოლია თუ არაბ. როდესაც თქვენი ნომრები გაქვთ, განათავსეთ ისინი შემდეგ ფორმატში:
(x + d) (x + e)
ზემოთ მოყვანილ მაგალითში ორივედდაეარიან 3:
x ^ 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
თუ ფრჩხილებს გაამრავლებთ, ისევ დაასრულებთ ორიგინალ გამოხატვას და ეს არის კარგი პრაქტიკა თქვენი ფაქტორიზაციის შესამოწმებლად. თქვენ შეგიძლიათ გაიაროთ ეს პროცესი (ფრჩხილების პირველი, შიდა, გარე და შემდეგ ბოლო ნაწილების გამრავლებით - იხილეთ რესურსები უფრო ვრცლად) ამის საპირისპიროდ სანახავად:
\ დაწყება {გასწორება} (x + 3) (x + 3) & = (x × x) + (3 × x) + (x × 3) + (3 × 3) \\ & = x ^ 2 + 3x + 3x + 9 \\ & = x ^ 2 + 6x + 9 \\ \ დასრულება {გასწორებული}
ფაქტორიზაცია ეფექტურად გადის ამ პროცესს საპირისპიროდ, მაგრამ შეიძლება რთული იყოს მისი შემუშავება კვადრატული განტოლების ფაქტორიზაციის სწორი გზა და ეს მეთოდი არ არის იდეალური ამისათვის თითოეული კვადრატული განტოლებისთვის მიზეზი ხშირად თქვენ უნდა გამოიცნოთ ფაქტორიზაცია და შემდეგ შეამოწმოთ იგი.
პრობლემა არის ის, რომ ფრჩხილებში რომელიმე გამოთქმა ტოლია ნულის ტოლი თქვენი არჩევანის მნიშვნელობითx. თუ რომელიმე ფრჩხილი ნულის ტოლია, მთელი განტოლება ნულის ტოლია და თქვენ იპოვნეთ გამოსავალი. შეხედეთ ბოლო ეტაპს [(x + 3) (x+ 3) = 0] და ნახავთ, რომ ფრჩხილების ნულზე გასვლა ერთადერთია, თუx= −3. უმეტეს შემთხვევაში, კვადრატულ განტოლებებს ორი გამოსავალი აქვთ.
ფაქტორიზაცია კიდევ უფრო რთულია, თუაარ არის ტოლი ერთის, მაგრამ თავდაპირველად უბრალო შემთხვევებზე ფოკუსირება უკეთესია.
განტოლების ამოსახსნელად მოედნის დასრულება
კვადრატის შევსება დაგეხმარებათ კვადრატული განტოლებების ამოხსნაში, რომელთა ადვილად ფაქტორიზაცია შეუძლებელია. ამ მეთოდს შეუძლია იმუშაოს ნებისმიერი კვადრატული განტოლებისთვის, მაგრამ ზოგიერთი განტოლებები მას უფრო სჯობს ვიდრე სხვები. მიდგომა გულისხმობს გამოხატვის სრულყოფილ კვადრატად ქცევას და ამის ამოხსნას. ზოგადი სრულყოფილი კვადრატი ასე ფართოვდება:
(x + d) ^ 2 = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2
კვადრატული განტოლების ამოხსნისთვის კვადრატის შევსებით, გამოაქვეყნეთ ფორმა გამოსახულებაში ზემოთ ჩამოთვლილის მარჯვენა მხარეს. პირველ რიგში გაყავით რიცხვიბპოზიცია 2-ით, შემდეგ კი კვადრატის შედეგი. განტოლებისთვის:
x ^ 2 + 8x = 0
კოეფიციენტიბ= 8, ასე რომბ÷ 2 = 4 და (ბ ÷ 2)2 = 16.
დაამატეთ ეს ორივე მხარეს, რომ მიიღოთ:
x ^ 2 + 8x + 16 = 16
გაითვალისწინეთ, რომ ეს ფორმა შეესაბამება სრულყოფილ კვადრატულ ფორმას,დ= 4, ასე რომ 2დ= 8 დად2 = 16. Ეს ნიშნავს რომ:
x ^ 2 + 8x + 16 = (x + 4) ^ 2
ჩადეთ ეს წინა განტოლებაში, რომ მიიღოთ:
(x + 4) ^ 2 = 16
ახლა ამოხსენით განტოლებაx. აიღეთ ორივე მხარის კვადრატული ფესვი და მიიღეთ:
x + 4 = \ კვადრატი {16}
გამოართვით 4-ს ორივე მხრიდან და მიიღეთ:
x = \ sqrt {16} - 4
ფესვი შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი და უარყოფითი ფესვის აღება იძლევა:
x = -4 - 4 = -8
იპოვნეთ სხვა გამოსავალი პოზიტიური ფესვით:
x = 4 - 4 = 0
ამიტომ ერთადერთი არა ნულოვანი ამოხსნაა −8. ამის დასადასტურებლად გადაამოწმეთ ორიგინალური გამოთქმით.
კვადრატული ფორმულის გამოყენება განტოლების ამოხსნისთვის
კვადრატული განტოლების ფორმულა უფრო რთულად გამოიყურება, ვიდრე სხვა მეთოდები, მაგრამ ეს არის ყველაზე საიმედო მეთოდი და მისი გამოყენება შეგიძლიათ ნებისმიერ კვადრატულ განტოლებაზე. განტოლება იყენებს სტანდარტული კვადრატული განტოლების სიმბოლოებს:
ცული ^ 2 + bx + c = 0
და აცხადებს, რომ:
x = \ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
ჩასვათ შესაბამისი რიცხვები მათ ადგილებზე და იმუშავეთ ამოხსნის ფორმულის საშუალებით, გახსოვდეთ რომ სცადოთ გამოკლებაც და კვადრატული ფესვის ტერმინის დამატებაც და აღნიშნეთ ორივე პასუხი შემდეგი მაგალითისთვის:
x ^ 2 + 6x + 5 = 0
Შენ გაქვსა = 1, ბ= 6 დაგ= 5. ფორმულა იძლევა შემდეგს:
\ დაწყება {გასწორება} x & = \ frac {-6 ± \ sqrt {6 ^ 2 - 4 × 1 × 5}} {2 × 1} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {36 - 20} } {2} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {16}} {2} \\ & = \ frac {-6 ± 4} {2} \ ბოლო {გასწორებული}
დადებითი ნიშნის მიღება იძლევა:
\ დაწყება {გასწორება} x & = \ frac {-6 + 4} {2} \\ & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ დასრულება {გასწორება}
და უარყოფითი ნიშნის მიღება იძლევა:
\ დაწყება {გასწორება} x & = \ frac {-6 - 4} {2} \\ & = \ frac {-10} {2} \\ & = -5 \ დასრულება {გასწორებული}
რომელია განტოლების ორი ამოხსნა.
როგორ განვსაზღვროთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის საუკეთესო მეთოდი
მოძებნეთ ფაქტორიზაცია, სანამ სხვა რამეს შეეცდებით. თუ თქვენ შეგიძლიათ დანიშნოთ ეს, ეს არის უსწრაფესი და მარტივი გზა კვადრატული განტოლების გადასაჭრელად. გახსოვდეთ, რომ თქვენ ეძებთ ორ რიცხვს, რომლებიც ჯდებაბკოეფიციენტი და გავამრავლოთგკოეფიციენტი. ამ განტოლებისთვის:
x ^ 2 + 5x + 6 = 0
თქვენ შეგიძლიათ ნახოთ, რომ 2 + 3 = 5 და 2 × 3 = 6, ასე რომ:
x ^ 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
დაx= −2 ანx = −3.
თუ ვერ ხედავთ ფაქტორიზაციას, გადაამოწმეთ, არის თუ არა ფაქტორიზაციაბკოეფიციენტი იყოფა 2-ზე, წილადების მიმართვის გარეშე. თუ ასეა, კვადრატის შევსება ალბათ უმარტივესი გზაა განტოლების ამოხსნისთვის.
თუ არცერთი მიდგომა არ ჩანს შესაფერისი, გამოიყენეთ ფორმულა. ეს, როგორც ჩანს, უმძიმესი მიდგომაა, მაგრამ თუ გამოცდაზე ხართ ან სხვა დროს გიბიძგებთ, ამან შეიძლება პროცესი გაცილებით სტრესული და გაცილებით სწრაფი გახადოს.