განსხვავება კლასიკურ მექანიკასა და კვანტურ მექანიკას შორის ძალიან დიდია. მიუხედავად იმისა, რომ კლასიკურ მექანიკაში ნაწილაკებსა და საგნებს აქვთ მკაფიოდ განსაზღვრული პოზიციები, კვანტურ მექანიკაში (გაზომვამდე) ა შეიძლება ითქვას, რომ ნაწილაკს მხოლოდ შესაძლო პოზიციების დიაპაზონი აქვს, რომლებიც აღწერილია ტალღის მიერ ალბათობათა თვალსაზრისით ფუნქცია
შროდინგერის განტოლება განსაზღვრავს კვანტური მექანიკური სისტემების ტალღურ ფუნქციას და მისი გამოყენების და ინტერპრეტაციის სწავლა კვანტური მექანიკის ნებისმიერი კურსის მნიშვნელოვანი ნაწილია. ამ განტოლების ამოხსნის ერთ-ერთი უმარტივესი მაგალითია ნაწილაკის ყუთში.
ტალღის ფუნქცია
კვანტურ მექანიკაში ნაწილაკი წარმოდგენილია ატალღის ფუნქცია. ეს ჩვეულებრივ აღინიშნება ბერძნული ასოთი psi (Ψ) და ეს დამოკიდებულია როგორც პოზიციაზე, ასევე დროზე და ის შეიცავს ყველაფერს, რისი ცოდნაც შეიძლება ნაწილაკის შესახებ.
ამ ფუნქციის მოდული კვადრატში გიჩვენებთ ალბათობას, რომ ნაწილაკი იპოვნება პოზიციაზეxთავის დროზეტ, ფუნქციის "ნორმალიზების" პირობით. ეს მხოლოდ იმას ნიშნავს, რომ მორგებულია ისე, რომ დარწმუნებული უნდა იყოს
ზოგიერთიპოზიციაxდროზეტროდესაც შედეგების შეჯამება მოხდება ყველა ადგილას, ანუ ნორმალიზაციის პირობა ამბობს, რომ:\ int _ {- \ ცუდი} ^ \ ცუდი \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
შეგიძლიათ გამოიყენოთ ტალღის ფუნქცია გამოთვალოთ მოლოდინის მნიშვნელობა ნაწილაკის პოზიციის დროსტ, სადაც მოლოდინის მნიშვნელობა ნიშნავს საშუალო მნიშვნელობას, რომლისთვისაც მიიღებდითxთუ გაზომვა ბევრჯერ გაიმეორეთ. რა თქმა უნდა, ეს არ ნიშნავს, რომ ეს იქნება შედეგი, რომელსაც მიიღებდი მოცემული გაზომვისთვის - ეს არისეფექტურადშემთხვევითი, თუმცა ზოგიერთ ადგილას, როგორც წესი, არსებითად უფრო სავარაუდოა, ვიდრე სხვები.
არსებობს მრავალი სხვა სიდიდე, რომლისთვისაც შეგიძლიათ გამოთვალოთ მოლოდინის მნიშვნელობები, როგორიცაა იმპულსი და ენერგიის მნიშვნელობები, ისევე როგორც მრავალი სხვა „საყურადღებო“.
შროდინგერის განტოლება
შროდინგერის განტოლება არის დიფერენციალური განტოლება, რომელიც გამოიყენება ტალღის ფუნქციისა და საკუთრივ ნაწილაკების ენერგიის მნიშვნელობის მოსაძებნად. განტოლება შეიძლება გამომდინარეობდეს ენერგიის დაზოგვისა და ნაწილაკის კინეტიკური და პოტენციური ენერგიის გამონათქვამებიდან. მისი დაწერის უმარტივესი გზაა:
H (Ψ) = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ ნაწილობრივი t}
მაგრამ აქჰწარმოადგენსჰამილტონის ოპერატორი, რაც თავისთავად საკმაოდ გრძელი გამოხატულებაა:
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ ნაწილობრივი ^ 2} {\ ნაწილობრივი x ^ 2} + V (x)
Აქ,მარის მასა, Plan არის პლანკის მუდმივი დაყოფილი 2π დავ (x) არის ზოგადი ფუნქცია სისტემის პოტენციური ენერგიისთვის. ჰამილტონიანს აქვს ორი განსხვავებული ნაწილი - პირველი ტერმინი არის სისტემის კინეტიკური ენერგია, ხოლო მეორე ტერმინი არის პოტენციური ენერგია.
კვანტური მექანიკის ყველა დაკვირვებადი მნიშვნელობა ასოცირდება ოპერატორთან და შროდინგერის განტოლების დროში დამოუკიდებელ ვერსიაში ჰამილტონი არის ენერგიის ოპერატორი. ამასთან, ზემოთ ნაჩვენებ დროზე დამოკიდებულ ვერსიაში, ჰამილტონიანი წარმოქმნის ტალღის ფუნქციის დროულ ევოლუციასაც.
განტოლებაში მოცემული ყველა ინფორმაციის შერწყმით, თქვენ შეგიძლიათ აღწეროთ ნაწილაკის ევოლუცია სივრცეში და დროში და ასევე განსაზღვროთ შესაძლო ენერგეტიკული მნიშვნელობები მისთვისაც.
დროთაგან დამოუკიდებელი შროდინგერის განტოლება
განტოლების დროზე დამოკიდებული ნაწილის ამოღება შესაძლებელია - სიტუაციის აღსაწერად, რომელიც განსაკუთრებით არ ვითარდება დროში - ტალღის ფუნქციის სივრცისა და დროის ნაწილებად გამოყოფით:Ψ(x, ტ) = Ψ(x) ვ(ტ). ამის შემდეგ დროზე დამოკიდებული ნაწილების გაუქმება შესაძლებელია, რაც ტოვებს შროდინგერის განტოლების დამოუკიდებელ ვერსიას:
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
ესისტემის ენერგიაა. ამას აქვს საკუთარი მნიშვნელობის განტოლების ზუსტი ფორმა,Ψ(x) თავისებური ფუნქციაა დაეარის საკუთარი მნიშვნელობა, ამიტომ დროის დამოუკიდებელ განტოლებას ხშირად უწოდებენ საკუთარი მნიშვნელობის განტოლებას კვანტური მექანიკური სისტემის ენერგიისთვის. დროის ფუნქცია მარტივად არის მოცემული:
f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}
დროისგან დამოუკიდებელი განტოლება სასარგებლოა, რადგან იგი ამარტივებს გაანგარიშებებს მრავალი სიტუაციისთვის, სადაც დროის ევოლუციას განსაკუთრებით გადამწყვეტი მნიშვნელობა არ აქვს. ეს არის ყველაზე გამოსადეგი ფორმა ”ნაწილაკი ყუთში” პრობლემებისათვის და კიდევ ატომის გარშემო ელექტრონების ენერგიის დონის დასადგენად.
ნაწილაკი ყუთში (უსასრულო კვადრატული ჭა)
დროთაგან დამოუკიდებელი შროდინგერის განტოლების ერთ-ერთი მარტივი ამოხსნა ნაწილაკისთვის არის უსასრულოდ ღრმა კვადრატული ჭა (ანუ უსასრულო პოტენციური ჭა), ან ბაზის ერთგანზომილებიანი ყუთი სიგრძელ. რა თქმა უნდა, ეს არის თეორიული იდეალიზება, მაგრამ ეს იძლევა ძირითად იდეას იმის შესახებ, თუ როგორ უნდა გადაწყვიტოთ შროდინგერის განტოლება ბუნებაში არსებული მრავალი გართულების გათვალისწინების გარეშე.
როდესაც პოტენციური ენერგია 0-ზეა მითითებული ჭაბურღილის გარეთ, სადაც ალბათობა სიმჭიდროვეა 0, ამ ვითარებისთვის შროდინგერის განტოლება ხდება:
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
და ამ ფორმის განტოლების ზოგადი ამოხსნაა:
Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)
ამასთან, სასაზღვრო პირობების დათვალიერება დაგეხმარებათ შევიწროებაში. ამისთვისx= 0 დაx= L, ანუ კოლოფის გვერდები ან ჭაბურღილის კედლები, ტალღის ფუნქცია ნულზე უნდა წავიდეს. კოსინუსის ფუნქციას აქვს 1 მნიშვნელობა, როდესაც არგუმენტი 0ა, ამიტომ საზღვრის პირობების დაკმაყოფილების მიზნით, მუდმივიაბნულის ტოლი უნდა იყოს. ეს ტოვებს:
Ψ (x) = A \ sin (kx)
მნიშვნელობის დასაყენებლად ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ სასაზღვრო პირობებიკ. მას შემდეგ, რაც ცოდვის ფუნქცია მნიშვნელობებზე ნულამდე მიდისნπ, სადაც კვანტური რიცხვიან= 0, 1, 2, 3… და ასე შემდეგ, ეს ნიშნავს როდისx = ლ, განტოლება იმუშავებს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუკ = ნπ / ლ. დაბოლოს, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ის ფაქტი, რომ ტალღის ფუნქცია უნდა იყოს ნორმალიზებული, რომ იპოვოთ მნიშვნელობაა(ინტეგრირება ყველა შესაძლოxმნიშვნელობები, ანუ 0-დანლ, და შემდეგ დააყენეთ შედეგი ტოლი 1-ისა და ხელახლა დალაგება), რომ მივიდეთ საბოლოო გამოხატულებამდე:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
ორიგინალი განტოლებისა და ამ შედეგის გამოყენებით შეგიძლიათ გადაწყვიტოთე, რაც იძლევა:
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8 მლ ^ 2}
გაითვალისწინეთ, რომ ის ფაქტი, რომნამ გამოხატულებაში ნიშნავს, რომ ენერგიის დონე არისკვანტიზებული, ასე რომ მათ ვერ მიიღებენნებისმიერიმნიშვნელობა, მაგრამ მხოლოდ ცალკეული ენერგიის დონის სიდიდეების ცალკეული ნაკრები, რაც დამოკიდებულია ნაწილაკის მასაზე და უჯრის სიგრძეზე.
ნაწილაკი ყუთში (სასრული კვადრატული ჭა)
იგივე პრობლემა ოდნავ რთულდება, თუ პოტენციურ ჭაბურღილს აქვს სასრული კედლის სიმაღლე. მაგალითად, თუ პოტენციალივ (x) იღებს მნიშვნელობასვ0 პოტენციური ჭის გარეთ და 0 მის შიგნით, ტალღის ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს პრობლემით გათვალისწინებულ სამ მთავარ რეგიონში. ეს უფრო ჩართული პროცესია, თუმცა აქ მხოლოდ შედეგების დანახვა გექნებათ, ვიდრე მთელი პროცესის გავლით.
თუ ჭა არისx= 0-დანx = ლისევ იმ რეგიონისთვის, სადაცx<0 გამოსავალია:
Ψ (x) = იყავი ^ {kx}
რეგიონისთვისx > ლ, ეს არის:
Ψ (x) = Ae ^ {- kx}
სად
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
ჭის შიგნით მდებარე რეგიონისთვის, სადაც 0 <x < ლზოგადი გამოსავალია:
Ψ (x) = C \ sin (wx) + D \ cos (wx)
სად
w = \ sqrt {\ frac {-2 მ (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
ამის შემდეგ შეგიძლიათ გამოიყენოთ სასაზღვრო პირობები, რომ დადგინდეს მუდმივების მნიშვნელობებია, ბ, გდადაღნიშნავს, რომ ჭაბურღილის კედლებთან ერთად განსაზღვრული მნიშვნელობების ქონა, ტალღის ფუნქცია და მისი პირველი წარმოებული უნდა იყოს ყველგან უწყვეტი, ხოლო ტალღის ფუნქცია ყველგან სასრული უნდა იყოს.
სხვა შემთხვევებში, მაგალითად, არაღრმა ყუთები, ვიწრო ყუთები და მრავალი სხვა კონკრეტული სიტუაცია, თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ მიახლოებები და სხვადასხვა გამოსავალი.