ალგებრაში რიცხვების მიმდევრობა მნიშვნელოვანია იმის შესასწავლად, თუ რა ხდება, როცა რაღაც სულ უფრო და უფრო იზრდება. არითმეტიკული თანმიმდევრობა განისაზღვრება საერთო სხვაობით, რაც არის განსხვავება ერთ რიცხვსა და მომდევნო რიცხვს შორის. არითმეტიკული მიმდევრობისთვის ეს სხვაობა მუდმივი მნიშვნელობაა და შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი. შედეგად, არითმეტიკული მიმდევრობა ფიქსირებული თანხით უფრო ან უფრო მცირე ხდება, ყოველ ჯერზე, როდესაც რიგითობას შეავსებს სიას ახალი რიცხვი.
TL; DR (ძალიან გრძელია; არ წავიკითხე)
არითმეტიკული მიმდევრობა არის იმ რიცხვების სია, რომლებშიც თანმიმდევრული ტერმინები განსხვავდება მუდმივი რაოდენობით, საერთო სხვაობით. როდესაც საერთო განსხვავება დადებითია, თანმიმდევრობა მუდმივად იზრდება ფიქსირებული რაოდენობით, ხოლო თუ ის უარყოფითია, თანმიმდევრობა იკლებს. სხვა საერთო თანმიმდევრობებია გეომეტრიული თანმიმდევრობა, რომელშიც ტერმინები განსხვავდება საერთო ფაქტორით და ფიბონაჩის თანმიმდევრობა, რომელშიც თითოეული რიცხვი ორი წინა რიცხვის ჯამია.
როგორ მუშაობს არითმეტიკული მიმდევრობა
არითმეტიკული მიმდევრობა განისაზღვრება საწყისი რიცხვით, საერთო სხვაობით და თანმიმდევრობით ტერმინების რაოდენობით. მაგალითად, არითმეტიკული მიმდევრობა, რომელიც იწყება 12-ით, 3 და ხუთი ტერმინის საერთო განსხვავებაა 12, 15, 18, 21, 24. კლებადი მიმდევრობის მაგალითია რიცხვი 3-ით დაწყებული, a2 და ექვსი ტერმინების საერთო სხვაობა. ეს თანმიმდევრობაა 3, 1, −1, −3, −5, −7.
არითმეტიკული მიმდევრობები შეიძლება ჰქონდეს ტერმინების უსასრულო რაოდენობა. მაგალითად, პირველი პირველი თანმიმდევრობა ტერმინების უსასრულო რაოდენობით იქნება 12, 15, 18,... და ეს თანმიმდევრობა უსასრულობამდე გრძელდება.
Საშუალო არითმეტიკული
არითმეტიკულ თანმიმდევრობას აქვს შესაბამისი სერია, რომელიც თანმიმდევრობის ყველა ტერმინს ამატებს. როდესაც ტერმინები დაემატება და ჯამი იყოფა ტერმინების რაოდენობაზე, შედეგი არის საშუალო არითმეტიკა ან საშუალო. არითმეტიკის საშუალო ფორმულაა
\ text {mean} = \ frac {\ text {sum of} n \ text {terms}} {n}
არითმეტიკული თანმიმდევრობის საშუალო გაანგარიშების სწრაფი გზაა დაკვირვების გამოყენება, როდესაც პირველი და ბოლო ტერმინებს ემატება, თანხა იგივეა, რაც მეორე და ბოლო ტერმინების დამატება ან მესამე და მესამე ბოლო ვადები. შედეგად, თანმიმდევრობის ჯამი არის პირველი და ბოლო ტერმინების ჯამი, ტერმინთა ნახევარზე მეტი. საშუალო მნიშვნელობის მისაღებად, ჯამი იყოფა ტერმინების რაოდენობაზე, ამიტომ არითმეტიკული მიმდევრობის საშუალო არის პირველი და ბოლო ტერმინების ჯამის ნახევარი. ამისთვისნვადებია1 რომან, საშუალო m- ის შესაბამისი ფორმულაა
m = \ frac {a_1 + a_n} {2}
უსასრულო არითმეტიკული მიმდევრობები ბოლო ტერმინს არ შეიცავს და, შესაბამისად, მათი საშუალო განუსაზღვრელია. ამის ნაცვლად, ნაწილობრივი თანხის საშუალო შეიძლება მოიძებნოს თანხის შეზღუდვით განსაზღვრული რაოდენობის ტერმინებით. ამ შემთხვევაში, ნაწილობრივი თანხა და მისი საშუალო შეიძლება ნაპოვნი იყოს ისევე, როგორც არა უსასრულო მიმდევრობისთვის.
მიმდევრობის სხვა ტიპები
რიცხვების მიმდევრობა ხშირად ემყარება ექსპერიმენტებზე ან ბუნებრივი მოვლენების გაზომვებზე დაკვირვებას. ასეთი მიმდევრობები შეიძლება იყოს შემთხვევითი რიცხვები, მაგრამ ხშირად მიმდევრობები აღმოჩნდება არითმეტიკული ან რიცხვების სხვა რიგითი სიები.
მაგალითად, გეომეტრიული მიმდევრობა განსხვავდება არითმეტიკული მიმდევრობისგან, რადგან მათ აქვთ საერთო ფაქტორი, ვიდრე საერთო განსხვავება. იმის ნაცვლად, რომ ყოველი ახალი ტერმინისთვის რიცხვი დაემატოს ან გამოკლება, რიცხვი მრავლდება ან იყოფა ყოველ ჯერზე, როდესაც ახალი ტერმინი დაემატება. თანმიმდევრობა, რომელიც არის 10, 12, 14,... როგორც არითმეტიკული თანმიმდევრობა 2-ის საერთო სხვაობით ხდება 10, 20, 40,... როგორც გეომეტრიული თანმიმდევრობა საერთო ფაქტორით 2.
სხვა თანმიმდევრობა იცავს სრულიად განსხვავებულ წესებს. მაგალითად, ფიბონაჩის თანმიმდევრობის ტერმინები იქმნება წინა ორი რიცხვის დამატებით. მისი თანმიმდევრობაა 1, 1, 2, 3, 5, 8,... ტერმინები ინდივიდუალურად უნდა დაემატოს ნაწილობრივი თანხის მისაღებად, რადგან პირველი და ბოლო ტერმინების დამატების სწრაფი მეთოდი ამ მიმდევრობისთვის არ მუშაობს.
არითმეტიკული თანმიმდევრობა მარტივია, მაგრამ მათ აქვთ რეალური პროგრამები. თუ საწყისი წერტილი ცნობილია და შესაძლებელია საერთო განსხვავების პოვნა, შეიძლება გამოითვალოს სერიის მნიშვნელობა კონკრეტულ წერტილში მომავალში და განისაზღვროს საშუალო მნიშვნელობაც.