კვადრატული ფესვები ხშირად გვხვდება მათემატიკისა და საბუნებისმეტყველო საგნებში და ამ კითხვების გადასაჭრელად ნებისმიერ სტუდენტს სჭირდება კვადრატული ფესვების საფუძვლების აღება. კვადრატული ფესვები ითხოვს "რომელი რიცხვი, როდესაც გამრავლდება თავის თავში, იძლევა შემდეგ შედეგს", და როგორც ასეთი მათი შემუშავება მოითხოვს ციფრებზე ოდნავ განსხვავებულად იფიქროთ. ამასთან, თქვენ მარტივად შეგიძლიათ გაიგოთ კვადრატული ფესვების წესები და უპასუხოთ მათთან დაკავშირებულ ნებისმიერ კითხვას, საჭიროა თუ არა ისინი პირდაპირ გაანგარიშებას ან უბრალოდ გამარტივებას.
TL; DR (ძალიან გრძელია; არ წავიკითხე)
კვადრატული ფესვი გეკითხება რომელი რიცხვი, როდესაც გამრავლდება თავისზე, იძლევა შედეგს √ სიმბოლოს შემდეგ. ასე რომ, √9 = 3 და √16 = 4. ტექნიკურად ყველა ფესვს აქვს დადებითი და უარყოფითი პასუხი, მაგრამ უმეტეს შემთხვევაში დადებითი პასუხი არის ის, რაც თქვენ დაგაინტერესებთ.
კვადრატული ფესვების ფაქტორირება შეგიძლიათ ჩვეულებრივი ციფრების მსგავსად, ასე რომაბ = √ა √ბ, ან 6 = 2√3.
რა არის კვადრატული ფესვი?
კვადრატული ფესვები რიცხვის "კვადრატის" საპირისპიროა, ან მისი გამრავლება. მაგალითად, სამი კვადრატში არის ცხრა (3
\ sqrt {9} = 3
სიმბოლო "√" გიჩვენებთ რიცხვის კვადრატული ფესვის აღებას და ამის პოვნა შეგიძლიათ უმეტეს კალკულატორებზე.
გახსოვდეთ, რომ ყველა რიცხვს რეალურად აქვსორიკვადრატული ფესვები. სამი გამრავლებული სამზე ტოლია ცხრა, მაგრამ უარყოფითი სამი გამრავლებული უარყოფითი სამი ასევე ტოლია ცხრა, ასე რომ
3 ^ 2 = (-3) ^ 2 = 9 \ ტექსტი {და} \ sqrt {9} = ± 3
ერთად plus დგას "პლუს ან მინუსი". ხშირ შემთხვევაში, შეგიძლიათ უგულებელყოთ რიცხვების უარყოფითი კვადრატული ფესვები, მაგრამ ზოგჯერ მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ, რომ ყველა რიცხვს აქვს ორი ფესვი.
შეიძლება მოგთხოვონ რიცხვის "კუბის ფესვი" ან "მეოთხე ფესვი". კუბის ფესვი არის რიცხვი, რომელიც თავისზე ორჯერ გამრავლებით უდრის თავდაპირველ რიცხვს. მეოთხე ფუძე არის ის რიცხვი, რომელიც თავისზე სამჯერ გამრავლებისას უდრის თავდაპირველ რიცხვს. კვადრატული ფესვების მსგავსად, ეს რიცხვების სიმძლავრის აღების საპირისპიროა. ასე რომ, 33 = 27, და ეს ნიშნავს, რომ კუბის ფესვი 27 არის 3, ან
\ sqrt [3] {27} = 3
"Symbol" სიმბოლო წარმოადგენს რიცხვის კუბურ ფესვს, რომელიც მოდის მის შემდეგ. ფესვები ზოგჯერ ასევე გამოხატულია, როგორც ფრაქციული ძალა, ასე რომ
\ sqrt {x} = x ^ {1/2} \ text {და} \ sqrt [3] {x} = x ^ {1/3}
კვადრატული ფესვების გამარტივება
კვადრატული ფესვების ერთ – ერთი ყველაზე რთული ამოცანა, რომელიც შეიძლება მოგიწიოთ, არის დიდი კვადრატული ფესვების გამარტივება, მაგრამ ამ კითხვების გადასაჭრელად საჭიროა მხოლოდ მარტივი წესების დაცვა. კვადრატული ფესვების ფაქტორირება ისევე შეგიძლიათ, როგორც ჩვეულებრივი რიცხვების ფაქტორი. მაგალითად, 6 = 2 × 3, ასე რომ
\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}
უფრო დიდი ფესვების გამარტივება ნიშნავს ფაქტორიზაციის ეტაპობრივად გადადგმას და კვადრატული ფესვის განმარტების დამახსოვრებას. მაგალითად, 2132 დიდი ფესვია და შეიძლება ძნელი იყოს იმის გარკვევა, თუ რა უნდა გააკეთო. ამასთან, მარტივად ხედავთ, რომ ის იყოფა 2-ზე, ასე რომ შეგიძლია დაწერო
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}
ამასთან, 66 ასევე იყოფა 2-ზე, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ:
\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}
ამ შემთხვევაში, რიცხვის კვადრატული ფესვი გამრავლებული სხვა კვადრატულ ფესვზე უბრალოდ იძლევა თავდაპირველ რიცხვს (კვადრატული ფესვის განსაზღვრის გამო), ასე რომ
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}
მოკლედ, შეგიძლიათ გაამარტივოთ კვადრატული ფესვები შემდეგი წესების გამოყენებით
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} \ sqrt {a} = a
რა არის კვადრატული ფესვი
ზემოთ მოცემული განმარტებებისა და წესების გამოყენებით შეგიძლიათ იხილოთ რიცხვების უმეტესობის კვადრატული ფესვები. განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი.
8 – ის კვადრატული ფესვი
ეს პირდაპირ ვერ მოიძებნება, რადგან ეს არ არის მთლიანი რიცხვის კვადრატული ფესვი. ამასთან, გამარტივების წესების გამოყენებით მოცემულია:
\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}
4 – ის კვადრატული ფესვი
ეს იყენებს 4 – ის მარტივ კვადრატულ ფესვს, რომელიც არის √4 = 2. პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია ზუსტად კალკულატორის გამოყენებით, და 8 = 2.8284 ...
კვადრატული ფესვი 12
იგივე მიდგომის გამოყენებით, შეეცადეთ შეიმუშაოთ 12 – ის კვადრატული ფესვი. გაყავით ფესვები ფაქტორებად და შემდეგ ნახეთ, კვლავ შეგიძლიათ გაყოთ ფაქტორებად. სცადეთ, როგორც პრაქტიკის პრობლემა, და შემდეგ გადახედეთ ქვემოთ მოცემულ გამოსავალს:
\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}
კიდევ ერთხელ, ეს გამარტივებული გამოთქმა შეიძლება გამოყენებულ იქნას პრობლემებში, როგორც საჭიროა, ან ზუსტად გამოითვალოს კალკულატორის გამოყენებით. კალკულატორი აჩვენებს ამას
\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3.4641.
20 – ის კვადრატული ფესვი
20 – ის კვადრატული ფესვის ანალოგიურად პოვნა შესაძლებელია:
\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4.4721.
კვადრატული ფესვი 32
დაბოლოს, გაუმკლავდით 32 კვადრატულ ფესვს იგივე მიდგომის გამოყენებით:
\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}
აქვე გაითვალისწინეთ, რომ 8-ის კვადრატული ფესვი უკვე გამოვთვალეთ როგორც 2√2 და 4 = 2, ასე რომ:
\ sqrt {32} = 2 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5.657 ...
უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი
მიუხედავად იმისა, რომ კვადრატული ფესვის განმარტება ნიშნავს, რომ უარყოფით რიცხვებს არ უნდა ჰქონდეს კვადრატული ფესვი (რადგან ნებისმიერი რიცხვი მრავლდება თავისთავად იძლევა დადებით რიცხვს), მათემატიკოსები მათ ალგებრაში არსებული პრობლემების ნაწილად შეხვდნენ და გამოსავალი "წარმოსახვითი" რიცხვიმეგამოიყენება "მინუს 1-ის კვადრატული ფესვის" მნიშვნელობით და ნებისმიერი სხვა უარყოფითი ფესვი გამოხატულია როგორც ჯერადიმე. Ისე
\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} i = ± 3i
ეს პრობლემები უფრო რთულია, მაგრამ მათი მოგვარება შეგიძლიათ ისწავლოთ შემდეგის განმარტებაზე დაყრდნობითმედა ფესვების სტანდარტული წესები.
კითხვებისა და პასუხების მაგალითი
შეამოწმეთ კვადრატული ფესვების გაგება, როგორც საჭიროა გამარტივება და შემდეგ შემდეგი ფესვების გამოთვლა:
\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}
შეეცადეთ მოაგვაროთ ეს, სანამ ქვემოთ მოცემულ პასუხებს გადახედავთ
\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt { 10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8.637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4.899 \\ \ sqrt {27 } = \ sqrt {3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5.196