微積分で行う重要な操作の1つは、導関数を見つけることです。 関数の導関数は、その関数の変化率とも呼ばれます。 たとえば、x（t）が任意の時間tでの車の位置である場合、dx / dtと書かれるxの導関数は、車の速度です。 また、導関数は、関数のグラフに接する線の傾きとして視覚化できます。 理論レベルでは、これは数学者が導関数を見つける方法です。 実際には、数学者は基本的なルールとルックアップテーブルのセットを使用します。
斜面としての導関数
2点間の線の傾きは、上昇、つまりy値の差をランで割ったもの、またはx値の差です。 xの特定の値に対する関数y（x）の傾きは、点[x、y（x）]で関数に接する線の傾きとして定義されます。 傾きを計算するには、点[x、y（x）]と近くの点[x + h、y（x + h）]の間に線を作成します。ここで、hは非常に小さい数です。 この線の場合、x値の実行または変化はhであり、y値の上昇または変化はy（x + h）-y（x）です。 したがって、点[x、y（x）]でのy（x）の傾きは、[y（x + h）-y（x）] / [（x + h）-x] = [y（ x + h）-y（x）] / h。 傾きを正確に取得するには、hがどんどん小さくなり、ゼロになる「限界」まで傾きの値を計算します。 この方法で計算された傾きは、y（x）の導関数であり、y ’（x）またはdy / dxとして記述されます。
べき関数の導関数
勾配/極限法を使用して、yがxのa乗、またはy（x）= x ^ aに等しい関数の導関数を計算できます。 たとえば、yがxの3乗に等しい場合、y（x）= x ^ 3の場合、hが[（x + h）^ 3-x ^ 3] / hのゼロになるため、dy / dxが制限になります。 （x + h）^ 3を展開すると、[x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3-x ^ 3] / hが得られます。これは、除算すると3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2になります。 hによって。 hがゼロになる限界では、hを含むすべての項もゼロになります。 したがって、y ’（x）= dy / dx = 3x ^ 2です。 これは、3以外の値に対して行うことができ、一般に、d / dx（x ^ a）=（a-1）x ^（a-1）であることを示すことができます。
べき級数からの派生物
多くの関数は、無限数の項の合計である、いわゆるべき級数として記述できます。ここで、 それぞれの形式はC（n）x ^ nです。ここで、xは変数、nは整数、C（n）はの各値の特定の数値です。 n。 たとえば、正弦関数のべき級数はSin（x）= x-x ^ 3/6 + x ^ 5 / 120-x ^ 7/5040 + ...です。ここで、「...」は次の用語が続くことを意味します。 無限に。 関数のべき級数がわかっている場合は、べき乗x ^ nの導関数を使用して、関数の導関数を計算できます。 たとえば、Sin（x）の導関数は1-x ^ 2/2 + x ^ 4 / 24-x ^ 6/720 + ...に等しく、これはたまたまCos（x）のべき級数です。
テーブルからの派生物
x ^ aのような累乗、指数関数、対数関数、三角関数などの基本関数の導関数は、勾配/極限法、累乗系列法、またはその他の方法を使用して求められます。 次に、これらの導関数を表に示します。 たとえば、Sin（x）の導関数がCos（x）であることがわかります。 複雑な関数が基本的な関数の組み合わせである場合、連鎖律や積の法則などの特別な規則が必要です。これらは表にも示されています。 たとえば、連鎖律を使用して、Sin（x ^ 2）の導関数が2xCos（x ^ 2）であることを確認します。 積の法則を使用して、xSin（x）の導関数がxCos（x）+ Sin（x）であることを確認します。 テーブルと簡単なルールを使用して、任意の関数の導関数を見つけることができます。 しかし、機能が非常に複雑な場合、科学者はコンピュータプログラムに助けを求めることがあります。