三次方程式を解く方法

多項式関数を解くことは、数学や物理学を勉強している人にとって重要なスキルですが、特に高階関数に関しては、プロセスを理解するのは非常に難しい場合があります。 三次関数は、手で解かなければならない可能性のある最も難しいタイプの多項式の1つです。 二次方程式を解くほど簡単ではないかもしれませんが、いくつかの方法があります 詳細なページやページに頼ることなく、三次方程式の解を見つけるために使用できます 代数。

三次関数は3次多項式です。 一般的な多項式関数の形式は次のとおりです。

ここに、 バツ は変数であり、 n は単に任意の数（および多項式の次数）であり、 k は定数であり、他の文字はの各累乗の定数係数です。 バツ. したがって、3次関数は n = 3、そして単純に：

この場合、 d は定数です。 一般的に、3次方程式を解く必要がある場合は、次の形式で表示されます。

の各ソリューション バツ 方程式の「根」と呼ばれます。 三次方程式は、繰り返される場合もありますが、1つまたは3つの実根を持ちますが、常に少なくとも1つの解があります。

方程式のタイプは最大の累乗で定義されるため、上記の例では、次の場合は3次方程式にはなりません。 a = 0、最高電力項は bx² そしてそれは二次方程式になります。 これは、以下がすべて3次方程式であることを意味します。

三次方程式を解く最も簡単な方法は、ちょっとした推測と、合成除法と呼ばれるアルゴリズムタイプのプロセスです。 ただし、開始は基本的に3次方程式解の試行錯誤の方法と同じです。 推測して、ルーツの1つが何であるかを理解してみてください。 最初の係数が次の方程式である場合、 a、が1に等しい場合、根の1つを推測するのは少し簡単です。これは、根が常に上で表される定数項の因子であるためです。 d.

したがって、次の方程式を見てください。たとえば、次のようになります。

の値の1つを推測する必要があります バツ、 しかしそれ以来 a = 1この場合、値が何であれ、24の因数でなければならないことがわかります。 最初のそのような要素は1ですが、これは次のようになります。

1 – 5 – 2 + 24 = 18

これはゼロではなく、-1は次のようになります。

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

これもゼロではありません。 次、 バツ = 2は次のようになります：

8 – 20 – 4 + 24 = 8

別の失敗。 やってみる バツ = −2は次のようになります。

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

これの意味は バツ = −2は3次方程式の根です。 これは試行錯誤の方法の長所と短所を示しています：あなたは多くなしで答えを得ることができます 考えましたが、時間がかかります（特に、ルートを見つける前に、より高い要素に移動する必要がある場合）。 幸いなことに、1つの根を見つけたら、残りの方程式を簡単に解くことができます。

重要なのは、因数定理を組み込むことです。 これは、 バツ = sは解であり、（バツ – s）は、方程式から引き出すことができる要因です。 この状況では、 s = −2など（バツ + 2）は私たちが残すことができる要因です：

括弧の2番目のグループの項は、2次方程式の形式であるため、次の適切な値が見つかった場合 a そして b、方程式を解くことができます。

これは、合成除算を使用して実現できます。 まず、テーブルの一番上の行に元の方程式の係数を書き留めます。分割線を付けてから、右側に既知のルートを書きます。

予備の行を1つ残し、その下に水平線を追加します。 まず、最初の数字（この場合は1）を水平線の下の行まで下げます

次に、ダウンさせた数に既知のルートを掛けます。 この場合、1×−2 = −2であり、これは次のようにリストの次の番号の下に書き込まれます。

次に、2番目の列に数値を追加し、結果を水平線の下に配置します。

次に、水平線の下に新しい番号を付けて、今行ったプロセスを繰り返します。 ルート、次の列の空のスペースに答えを入れてから、列を追加して新しい番号を取得します 最終行。 これは去ります：

そして、最後にプロセスを実行します。

最後の答えがゼロであるという事実は、有効なルートを持っていることを示しています。したがって、これがゼロでない場合は、どこかで間違いを犯しています。

さて、一番下の行は、括弧の2番目のセットの3つの項の因数を示しているので、次のように書くことができます。

など：

これはソリューションの最も重要な段階であり、この時点からさまざまな方法で終了できます。

因子を削除すると、因数分解を使用して解決策を見つけることができます。 上記の手順から、これは基本的に2次方程式の因数分解と同じ問題であり、場合によっては困難になる可能性があります。 ただし、式の場合：

角かっこに入れた2つの数値は、2番目の係数（7）を与えるために加算し、3番目の係数（12）を与えるために乗算する必要があることを覚えている場合、この場合はかなり簡単にわかります。

必要に応じて、これを乗算して確認できます。 因数分解をすぐに見ることができなくても、がっかりしないでください。 少し練習が必要です。 これにより、元の方程式は次のようになります。

あなたがすぐに見ることができるものはで解決策を持っています バツ = −2、3、および4（これらはすべて元の定数である24の因数です）。 理論的には、元のバージョンの方程式から因数分解全体を見ることができる場合もありますが、これは多くのことです。 より難しいので、試行錯誤から1つの解決策を見つけて、上記のアプローチを使用してから、 因数分解。

因数分解を確認するのに苦労している場合は、2次方程式の式を使用できます。

残りの解決策を見つけるため。

はるかに大きくて扱いが簡単ではありませんが、3次方程式の形式の単純な3次方程式ソルバーがあります。 これは、次の値を入力するだけで2次方程式の式に似ています。 a, b, c そして d 解決策を得るために、しかしちょうどはるかに長いです。

それは次のように述べています：

どこ

そして

この式の使用には時間がかかりますが、3次方程式の解に試行錯誤の方法を使用してから、2次式を使用したくない場合は、すべてを実行すると機能します。