古典力学と量子力学の違いは非常に大きいです。 古典力学では粒子と物体は明確に定義された位置を持っていますが、量子力学では（測定前に） 粒子は、波によって確率の観点から説明される、可能な位置の範囲を持っているとしか言えません。 関数。
シュレディンガー方程式は、量子力学システムの波動関数を定義し、それを使用および解釈する方法を学ぶことは、量子力学のあらゆるコースの重要な部分です。 この方程式の解の最も簡単な例の1つは、ボックス内の粒子の場合です。
波動関数
量子力学では、粒子は次のように表されます。波動関数. これは通常、ギリシャ文字のpsi（Ψ）そしてそれは位置と時間の両方に依存し、それは粒子について知ることができるすべてを含んでいます。
この関数の2乗の係数は、粒子がその位置で見つかる確率を示します。バツ当時のt、関数が「正規化」されている場合。 これは、次の場所で確実に見つかるように調整されていることを意味します。いくつかポジションバツ当時のtすべての場所での結果が合計されると、つまり、正規化条件は次のようになります。
\ int _ {-\ infty} ^ \ infty \vertΨ\ vert ^ 2 = 1
波動関数を使用して、時間における粒子の位置の期待値を計算できます。t、ここで、期待値は、得られる平均値を意味しますバツ測定を何度も繰り返した場合。 もちろん、これは、特定の測定で得られる結果になるという意味ではありません。つまり、効果的にランダムですが、通常、場所によっては他の場所よりもかなり可能性が高くなります。
運動量やエネルギー値など、期待値を計算できる他の多くの量や、他の多くの「観測量」があります。
シュレディンガー方程式
シュレディンガー方程式は、波動関数の値と粒子のエネルギーの固有状態を見つけるために使用される微分方程式です。 この方程式は、エネルギー保存の法則と、粒子の運動エネルギーおよび位置エネルギーの式から導き出すことができます。 それを書く最も簡単な方法は次のとおりです。
H（Ψ）=iℏ\ frac {\partialΨ} {\ partial t}
しかし、ここでHを表すハミルトニアン演算子、それ自体はかなり長い式です。
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + V（x）
ここに、mは質量、ℏはプランク定数を2πで割ったもの、V (バツ）は、システムの位置エネルギーの一般的な関数です。 ハミルトニアンには2つの異なる部分があります。最初の項はシステムの運動エネルギーであり、2番目の項は位置エネルギーです。
量子力学で観測可能なすべての値は演算子に関連付けられており、シュレディンガー方程式の時間に依存しないバージョンでは、ハミルトニアンがエネルギー演算子です。 ただし、上記の時間依存バージョンでは、ハミルトニアンは波動関数の時間発展も生成します。
方程式に含まれるすべての情報を組み合わせることで、空間と時間における粒子の進化を記述し、その可能性のあるエネルギー値を予測することもできます。
時間に依存しないシュレディンガー方程式
波動関数を空間部分と時間部分に分離することにより、方程式の時間依存部分を削除できます（特に時間とともに変化しない状況を説明するため）。Ψ(バツ, t) = Ψ(バツ) f(t). 次に、時間依存部分を方程式からキャンセルできます。これにより、シュレディンガー方程式の時間非依存バージョンが残ります。
HΨ（x）= E（Ψ（x））
Eシステムのエネルギーです。 これは、固有値方程式の正確な形式を持ち、Ψ(バツ）固有関数であり、Eは固有値であるため、時間に依存しない方程式は、量子力学システムのエネルギーの固有値方程式と呼ばれることがよくあります。 時間関数は単純に次の式で与えられます。
f（t）= e ^ {-iEt /ℏ}
時間に依存しない方程式は、時間発展が特に重要ではない多くの状況で計算を簡素化するため、便利です。 これは、「井戸型ポテンシャル」の問題や、原子の周りの電子のエネルギー準位を決定する場合にも最も役立つ形式です。
箱の中の粒子（無限の正方形の井戸）
時間に依存しないシュレディンガー方程式の最も簡単な解決策の1つは、 無限に深い正方形の井戸（つまり、無限のポテンシャル井戸）、またはベースの1次元ボックス 長さL. もちろん、これらは理論的な理想化ですが、自然界に存在する多くの複雑さを考慮せずに、シュレディンガー方程式を解く方法の基本的な考え方を示しています。
確率密度も0である井戸の外側で位置エネルギーを0に設定すると、この状況のシュレディンガー方程式は次のようになります。
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^2Ψ（x）} {dx ^ 2} =EΨ（x）
そして、この形式の方程式の一般的な解は次のとおりです。
Ψ（x）= A \ sin（kx）+ B \ cos（kx）
ただし、境界条件を確認すると、これを絞り込むのに役立ちます。 にとってバツ= 0およびバツ= L、つまりボックスの側面またはウェルの壁の場合、波動関数はゼロになる必要があります。 引数が0の場合、余弦関数の値は1であるため、境界条件が満たされるためには、定数Bゼロに等しくなければなりません。 これは去ります：
Ψ（x）= A \ sin（kx）
境界条件を使用して、次の値を設定することもできます。k. sin関数は値でゼロになるのでnπ、ここで量子数n= 0、1、2、3…など、これは次のことを意味しますバツ = L、方程式は次の場合にのみ機能しますk = nπ / L. 最後に、波動関数を正規化して次の値を見つける必要があるという事実を使用できます。A（可能な限りすべてを統合するバツ値、つまり0からL、次に結果を1に設定し、再配置します）、最終的な式に到達します。
Ψ（x）= \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg（\ frac {nπ} {L} x \ bigg）
元の方程式とこの結果を使用して、次の式を解くことができます。E、次のようになります。
E = \ frac {n ^2ℎ^ 2} {8mL ^ 2}
その事実に注意してくださいnこの表現にあるということは、エネルギーレベルが量子化、だから彼らは取ることができませんどれか値ですが、粒子の質量とボックスの長さに応じて、特定のエネルギーレベル値の離散セットのみです。
井戸型ポテンシャル（有限正方形井戸）
ポテンシャル井戸の壁の高さが有限である場合、同じ問題はもう少し複雑になります。 たとえば、可能性がある場合V (バツ）値を取りますV0 ポテンシャル井戸の外側とその内側の0では、波動関数は問題の対象となる3つの主要な領域で決定できます。 ただし、これはより複雑なプロセスであるため、ここでは、プロセス全体を実行するのではなく、結果のみを表示できます。
井戸がある場合バツ= 0からバツ = L繰り返しますが、バツ<0の解決策は次のとおりです。
Ψ（x）= Be ^ {kx}
地域のためにバツ > L、それは：
Ψ（x）= Ae ^ {-kx}
どこ
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ^ 2}}
井戸内の領域の場合、0 <バツ < L、一般的な解決策は次のとおりです。
Ψ（x）= C \ sin（wx）+ D \ cos（wx）
どこ
w = \ sqrt {\ frac {-2m（E + V_0）} {ℏ^ 2}}
次に、境界条件を使用して定数の値を決定できますA, B, CそしてD、井戸の壁で定義された値を持っているだけでなく、波動関数とその一次導関数はどこでも連続でなければならず、波動関数はどこでも有限でなければならないことに注意してください。
浅いボックス、狭いボックス、その他の多くの特定の状況など、他の場合には、近似値とさまざまな解決策を見つけることができます。