電磁気学の謎を解くことは、これまでの物理学の最大の成果の1つであり、学んだ教訓はマクスウェルの方程式に完全にカプセル化されています。
ジェームズクラークマクスウェルは、これらの4つのエレガントな方程式に彼の名前を付けていますが、これらは多くの物理学者による数十年にわたる研究の集大成です。 マイケルファラデー、アンドレマリーアンペール、カールフリードリヒガウスなど、4つの方程式のうち3つに名前を付けています。 その他。 マクスウェル自身は4つの方程式のうちの1つに用語を追加しただけでしたが、彼は トピックに関して行われた最高の作業を収集し、現在も使用されている方法で提示します。 今日の物理学者。
何年もの間、物理学者は電気と磁気は別々の力であり、別個の現象であると信じていました。 しかし、ファラデーのような人々の実験的な仕事を通して、彼らが実際には 同じ現象であり、マクスウェルの方程式は、19日と同じように今日でも有効なこの統一された図を示しています。 世紀。 より高いレベルで物理学を研究する場合は、マクスウェルの方程式とその使用方法を絶対に知っておく必要があります。
マクスウェルの方程式
マクスウェルの方程式は、微分形式と積分形式の両方で次のとおりです。 （ここでは微分方程式の知識が役立ちますが、それがなくても概念的な理解が可能であることに注意してください。）
ガウスの電気の法則
微分形式：
\ bm {∇∙E} = \ frac {ρ} {ε_0}
積分形式：
\ int \ bm {E∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
単極子の法則なし/磁気のガウスの法則
微分形式：
\ bm {∇∙B} = 0
積分形式：
\ int \ bm {B∙} d \ bm {A} = 0
ファラデーの誘導の法則
微分形式：
\ bm {∇×E} = − \ frac {∂\ bm {B}} {∂t}
積分形式：
\ int \ bm {E∙} d \ bm {s} = − \ frac {∂\ phi_B} {∂t}
アンペール-マクスウェルの法則/アンペールの法則
微分形式：
\ bm {∇×B} = \ frac {J} {ε_0c^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
積分形式：
\ int \ bm {B∙} d \ bm {s} =μ_0I+ \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E∙} d \ bm {A }
マクスウェルの方程式で使用される記号
マクスウェルの方程式はかなり多くの記号を使用しており、それらを適用する方法を学ぶ場合は、これらが何を意味するのかを理解することが重要です。 使用されている記号の意味の概要は次のとおりです。
B=磁場
E=電界
ρ=電荷密度
ε0=自由空間の誘電率= 8.854×10-12 m-3 kg-1 s4 A2
q=総電荷（正電荷と負電荷の正味の合計）
𝜙B =磁束
J=電流密度
私=電流
c=光速= 2.998×108 MS
μ0 =自由空間の透磁率=4π×10−7 N / A2
さらに、∇はdel演算子であり、2つの量の間のドットであることを知っておくことが重要です（バツ ∙ Y）はスカラー積を示し、2つの量の間の太字の乗算記号はベクトル積です（バツ × Y）、ドット付きのdel演算子は「発散」と呼ばれます（例：∇∙ バツ=の発散バツ= divバツ）およびスカラー積を持つdel演算子は、カールと呼ばれます（例：∇× Y=のカールY=カールY). 最後に、AdでA計算している閉じた表面の表面積を意味します（dと表記されることもあります）S）、 そしてそのsdでsは、計算しているオープンサーフェスの境界の非常に小さな部分です（ただし、これはdの場合もあります）l、非常に小さい線成分を指します）。
方程式の導出
マクスウェルの方程式の最初の方程式はガウスの法則であり、 閉じた表面は、形状の内部に含まれる総電荷を自由の誘電率で割ったものに等しくなります スペース。 この法則は、電場とそれが試験電荷に与える影響の観点からクーロンの法則を表現するという重要な一歩を踏み出した後、クーロンの法則から導き出すことができます。
マクスウェルの方程式の2番目は、「磁気単極子は存在しない」というステートメントと本質的に同等です。 それは述べています 磁場は常に次の結果であるため、閉じた表面を通る正味の磁束は常に0になります。 ダイポール。 この法則は、電流要素によって生成される磁場を表すビオサバールの法則から導き出すことができます。
3番目の方程式（ファラデーの誘導の法則）は、変化する磁場がワイヤまたは導体のループに電圧を生成する方法を説明します。 それはもともと実験から派生したものです。 しかし、磁束の変化が起電力（EMFまたは電圧）を誘発し、それによって電流が ワイヤーのループ、およびEMFが回路の周りの電界の線積分として定義されているという事実から、法則は簡単に記述できます。 一緒。
4番目の最後の方程式であるアンペールの法則（またはアンペールの法則-マクスウェルの法則 寄与）は、移動する電荷または変化する電気によって磁場がどのように生成されるかを説明します フィールド。 法則は実験の結果です（したがって、マクスウェルの方程式のすべてのように、従来の意味で実際には「導出」されていませんでした）が、ストークスの定理これは、基本的な結果を現在使用されている形式にするための重要なステップです。
マクスウェルの方程式の例：ガウスの法則
率直に言って、特にベクトル計算を正確に把握していない場合、マクスウェルの方程式はすべて比較的コンパクトであるにもかかわらず、非常に気が遠くなるように見えます。 それらを実際に理解するための最良の方法は、実際にそれらを使用するいくつかの例を確認することです。ガウスの法則は、開始するのに最適な場所です。 ガウスの法則は本質的にクーロンの法則の仕事をするより基本的な方程式であり、それは 点によって生成される電界を考慮することにより、クーロンの法則をそこから導き出すのは非常に簡単です。 充電。
料金を呼び出すq、ガウスの法則を適用するための重要なポイントは、通過する電束を調べるための適切な「表面」を選択することです。 この場合、表面積のある球がうまく機能しますA = 4πr2、球を点電荷の中心に置くことができるためです。 これは、このような問題を解決するための大きなメリットです。これは、表面全体でさまざまなフィールドを統合する必要がないためです。 フィールドは点電荷の周りで対称になるため、球の表面全体で一定になります。 したがって、積分形式：
\ int \ bm {E∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
次のように表すことができます。
E×4πr^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
注意してくださいE電界は単純な大きさに置き換えられました。これは、点電荷からの電界がソースからすべての方向に均等に広がるためです。 ここで、球の表面積で割ると、次のようになります。
E = \ frac {q} {4πε_0r^ 2}
力は電界に関係しているのでE = F/q、 どこqテスト料金です、F = qE、 など：
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r^ 2}
2つの料金を区別するために添え字が追加されている場合。 これは、標準形式で記述されたクーロンの法則であり、ガウスの法則の単純な結果であることが示されています。
マクスウェルの方程式の例：ファラデーの法則
ファラデーの法則により、磁場の変化に起因するワイヤーのループ内の起電力を計算できます。 簡単な例は、半径のあるワイヤーのループです。r= 20 cm、磁場の大きさがB私 = 1TからBf = ∆の空間で10 Tt= 5秒–この場合に誘発されるEMFは何ですか？ 法則の積分形式には、フラックスが含まれます。
\ int \ bm {E∙} d \ bm {s} = − \ frac {∂\ phi_B} {∂t}
これは次のように定義されます：
ϕ = BA \ cos（θ）
ここでの問題の重要な部分は、フラックスの変化率を見つけることですが、問題はかなり単純なので、偏導関数を各量の単純な「変化」に置き換えることができます。 そして、積分は実際には起電力を意味するだけなので、ファラデーの誘導の法則を次のように書き直すことができます。
\ text {EMF} = − \ frac {∆BA \ cos（θ）} {∆t}
ワイヤーのループの法線が磁場と整列していると仮定すると、θ= 0°などcos（θ) = 1. これは去ります：
\ text {EMF} = − \ frac {∆BA} {∆t}
この問題は、次のように、最初と最後の磁場とループの面積の差を見つけることで解決できます。
\ begin {aligned} \ text {EMF}＆= − \ frac {∆BA} {∆t} \\＆= − \ frac {（B_f --B_i）×πr^ 2} {∆t} \\＆= − \ frac {（10 \ text {T} -1 \ text {T}）×π×（0.2 \ text {m}）^ 2} {5 \ text {s}} \\＆= − 0.23 \ text {V } \ end {aligned}
これは小さな電圧ですが、ファラデーの法則は同じように適用されます。
マクスウェルの方程式の例：アンペア-マクスウェルの法則
アンペア-マクスウェルの法則は、定期的に適用する必要があるマクスウェルの方程式の最後の法則です。 電界が変化しない場合、方程式はアンペールの法則に戻るため、これが最も簡単な例です。 これを使用して、電流が流れる直線ワイヤーから生じる磁場の方程式を導き出すことができます。私、およびこの基本的な例は、方程式がどのように使用されるかを示すのに十分です。 完全な法則は次のとおりです。
\ int \ bm {B∙} d \ bm {s} =μ_0I+ \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E∙} d \ bm {A }
しかし、電界が変化しないと、次のようになります。
\ int \ bm {B∙} d \ bm {s} =μ_0I
さて、ガウスの法則と同様に、ワイヤーのループを中心として表面に円を選択すると、直感的に、結果として生じる磁場が示唆されます。 対称になるので、積分をループの円周と磁場の強さの単純な積に置き換えることができます。 去る：
B×2πr=μ_0I
2πで割るr与える：
B = \ frac {μ_0I} {2πr}
これは、離れた場所での磁場の受け入れられた表現ですr電流が流れる直線のワイヤーから生じます。
電磁波
マクスウェルが方程式のセットを組み立てたとき、彼はさまざまな説明を助けるためにそれらの解を見つけ始めました 現実世界の現象、そしてそれが光に与えた洞察は彼が最も重要な結果の1つです 得られた。
なぜなら、変化する電場は（アンペールの法則により）磁場を生成し、変化する磁場は生成するからです。 電場（ファラデーの法則による）、マクスウェルは自己伝播電磁波が 可能。 彼は自分の方程式を使って、そのような波を表す波動方程式を見つけ、それが光速で伝わると判断しました。 これは一種の「エウレカ」の瞬間でした。 彼は、光が電磁放射の一形態であり、彼が想像したフィールドと同じように機能することに気づきました。
電磁波は、電界波と前後に振動する磁界波で構成され、互いに直角に並んでいます。 波の電気部分の振動は磁場を生成し、この部分の振動は、それが空間を移動するときに、再び電場を生成します。
他の波と同様に、電磁波には周波数と波長があり、これらの積は常に次のようになります。c、光速。 電磁波は私たちの周りにあり、可視光線だけでなく、他の波長は一般に電波、マイクロ波、赤外線、紫外線、X線、ガンマ線と呼ばれています。 これらの形態の電磁放射はすべて、マクスウェルの方程式で説明されているのと同じ基本的な形態ですが、それらのエネルギーは周波数によって異なります（つまり、周波数が高いほどエネルギーが高くなります）。
それで、物理学者にとって、「光がありますように！」と言ったのはマクスウェルでした。