慣性モーメント（角運動量および回転慣性）：定義、方程式、単位

アイススケーターが腕を引っ張って回転速度を上げるのか、猫が回転速度を制御するのか 転倒時に足に着地するために、慣性モーメントの概念は回転の物理学にとって非常に重要です モーション。

回転慣性としても知られている慣性モーメントは、 ニュートンの運動の法則の2つ目で、角加速度に抵抗する物体の傾向を説明しています。

この概念は最初はあまり面白くないように思われるかもしれませんが、角運動量の保存則と組み合わせて 勢い、それは多くの魅力的な物理現象を説明し、広範囲の動きを予測するために使用することができます 状況。

オブジェクトの慣性モーメントは、角加速度に対するオブジェクトの抵抗を表し、回転軸の周りの質量分布を説明します。

基本的に、オブジェクトの回転の速度を変更することがどれほど難しいかを定量化します。これは、オブジェクトの回転の開始、停止、またはすでに回転しているオブジェクトの速度の変更を意味します。

これは回転慣性と呼ばれることもあり、ニュートンの第2法則における質量の類似物と考えると便利です。F_ネット​ = ​ma. ここで、オブジェクトの質量は慣性質量と呼ばれることが多く、（線形）運動に対するオブジェクトの抵抗を表します。 回転慣性は、回転運動に対してこのように機能し、数学的な定義には常に質量が含まれます。

回転運動の第2法則と同等の表現は、トルク​ (​τ、力の回転アナログ）角加速度αと慣性モーメント私​:

同じオブジェクトが複数の慣性モーメントを持つ可能性がありますが、定義の大部分は質量分布に関するものであると同時に、回転軸の位置も考慮しているためです。

たとえば、ロッドの中心を中心に回転する慣性モーメントは私​ = ​ML​²/ 12（ここでM質量であり、Lはロッドの長さです）、一方の端を中心に回転する同じロッドには、次の式で与えられる慣性モーメントがあります。私​ = ​ML​²/3.

したがって、物体の慣性モーメントはその質量に依存しますM、その半径Rとその回転軸。

ある場合には、Rと呼ばれますd、回転軸からの距離、およびその他の場合（前のセクションのロッドと同様）は、長さに置き換えられます。L. 象徴私慣性モーメントに使用され、単位はkgmです。².

これまでに学んだことに基づいて予想されるように、慣性モーメントにはさまざまな方程式があり、それぞれが特定の形状と特定の回転軸を参照します。 すべての慣性モーメントにおいて、

ザ・氏​² 成分は、ある距離にある点質量の慣性モーメントです。R回転軸から、特定の剛体の方程式は、点質量の合計として、またはオブジェクト上に無限の数の小さな点質量を積分することによって構築されます。

場合によっては、点質量の単純な算術和に基づいて、またはによってオブジェクトの慣性モーメントを導出すると便利な場合があります。 統合すると、実際には、一般的な形状と回転軸について多くの結果が得られ、それらを導出することなく簡単に使用できます。 最初：

中実円柱（対称軸）：

中実の円柱（中心直径軸、または円柱の中央の円形断面の直径）：

中実球（中心軸）：

薄い球殻（中心軸）：

フープ（対称軸、つまり中心を垂直に通る）：

フープ（直径軸、つまりフープによって形成される円の直径全体）：

ロッド（中心軸、ロッドの長さに垂直）：

ロッド（端を中心に回転）：

回転軸ごとに異なる方程式がある理由を理解することは、慣性モーメントの概念を理解するための重要なステップです。

鉛筆について考えてみましょう。鉛筆を中央で回転させたり、端で回転させたり、中心軸を中心にねじったりすることで回転させることができます。 オブジェクトの回転慣性は回転軸の周りの質量分布に依存するため、これらの状況はそれぞれ異なり、それを記述するために別個の方程式が必要です。

この同じ議論を30フィートの旗竿まで拡大すると、慣性モーメントの概念を本能的に理解することができます。

それを逆さまに回転させることは非常に困難です-あなたがそれを管理することができれば-一方、その中心軸の周りでポールを回転させることははるかに簡単です。 これは、トルクが回転軸からの距離と30フィートに強く依存するためです。 旗竿の例、それを端から端まで回転させることは、の軸から15フィート離れた各極端な端を含みます 回転。

ただし、中心軸を中心に回転させると、すべてが軸に非常に近くなります。 この状況は、重い物体を腕の長さで運ぶのとよく似ています。 体に近づけたり、レバーを端から操作したりします。 支点に近い。

これが、回転軸に応じて同じオブジェクトの慣性モーメントを記述するために異なる方程式が必要な理由です。 選択した軸は、体の質量が同じままであっても、体の一部が回転軸からどれだけ離れているかに影響します。

剛体の慣性モーメントを計算するための鍵は、適切な方程式の使用と適用を学習することです。

前のセクションの鉛筆を考えてみましょう。その長さに沿って中心点の周りで逆さまに回転しています。 それはではありませんが完璧ロッド（たとえば、尖った先端がこの形状を壊します）は、オブジェクトの慣性モーメントの導出を完全に行う必要がないようにモデル化できます。

したがって、オブジェクトをロッドとしてモデル化するには、次の方程式を使用して、鉛筆の総質量と長さを組み合わせた慣性モーメントを見つけます。

より大きな課題は、複合オブジェクトの慣性モーメントを見つけることです。

たとえば、ロッドで接続された2つのボールについて考えてみます（問題を単純化するために、質量のないものとして扱います）。 ボール1は2kgで、回転軸から2 m離れて配置され、ボール2は質量5 kgで、回転軸から3m離れています。

この場合、各ボールを点質量と見なし、次の基本的な定義から作業することにより、この複合オブジェクトの慣性モーメントを見つけることができます。

下付き文字は、異なるオブジェクト（つまり、ボール1とボール2）を単純に区別します。 2つのボールのオブジェクトは次のようになります。

角運動量（線形運動量の回転アナログ）は、回転慣性（つまり、慣性モーメント、私）オブジェクトとその角速度のω）、度/秒またはラジアン/秒で測定されます。

あなたは間違いなく線形運動量の保存則に精通しているでしょう、そして角運動量も同じ方法で保存されます。 角運動量の方程式L）は：

これが実際に何を意味するかを考えると、多くの物理現象が説明されます。これは、（他の力がない場合）オブジェクトの回転慣性が高いほど、角速度が低くなるためです。

腕を伸ばした状態で一定の角速度で回転しているアイススケート選手を考えてみましょう。腕を伸ばしていると半径が大きくなることに注意してください。Rその周りに彼の質量が分散され、腕が体に近い場合よりも大きな慣性モーメントが発生します。

場合L​₁ 腕を伸ばして計算され、L​₂、腕を引き込んだ後は同じ値でなければなりません（角運動量が保存されているため）、腕を引き込んで慣性モーメントを減らすとどうなりますか？ 彼の角速度ω補償するために増加します。

猫は同様の動きをして、転んだときに足に着地するのを助けます。

脚と尻尾を伸ばすことにより、慣性モーメントが増加し、回転速度が低下します。 逆に、脚を引き込んで慣性モーメントを減らし、回転速度を上げることができます。 彼らは、これらの2つの戦略を、「立ち直り反射」の他の側面とともに使用して、足が確実に着地するようにします。 まず、猫のタイムラプス写真で、丸まって伸びる明確な段階を見ることができます。 着陸。

線形運動と回転運動の類似点を継続すると、オブジェクトも線形運動エネルギーと同じように回転運動エネルギーを持ちます。

ボールが地面を横切って転がり、その中心軸を中心に回転し、直線的に前進することを考えてみてください。ボールの総運動エネルギーは、その線形運動エネルギーの合計です。E​_k とその回転運動エネルギーE​_腐敗. これらの2つのエネルギーの類似点は、両方の方程式に反映されており、オブジェクトの 慣性モーメントは質量の回転アナログであり、その角速度は線形の回転アナログです 速度v​):

両方の方程式がまったく同じ形式であり、回転運動エネルギー方程式の代わりに適切な回転類似体が使用されていることがはっきりとわかります。

もちろん、回転運動エネルギーを計算するには、オブジェクトの慣性モーメントの適切な式を次の空間に代入する必要があります。私. ボールを考慮し、オブジェクトを固体球としてモデル化すると、方程式は次のようになります。

総運動エネルギー（E​_トット）はこれとボールの運動エネルギーの合計であるため、次のように書くことができます。

直線速度2m / s、半径0.3 m、角速度2πrad/ sで移動する1kgのボールの場合、総エネルギーは次のようになります。

状況に応じて、オブジェクトは線形運動エネルギーのみを持っている場合があります（たとえば、ボールが スピンが与えられていない高さ）または回転運動エネルギーのみ（ボールは回転しているが所定の位置に留まっている）。

それが合計節約されるエネルギー。 ボールが最初の回転なしで壁で蹴られ、ボールが低速で跳ね返るが、スピンが与えられ、エネルギーが与えられた場合 接触すると音と熱が失われ、初期運動エネルギーの一部が回転運動エネルギーに変換されたため、できません跳ね返る前と同じくらい速く動く可能性があります。