ポリゴンは、3つ以上の直線（曲線ではない）の辺を持つ閉じた2次元の図形であり、12辺のポリゴンは12角形と呼ばれます。 通常の十二角形は、辺と角度が等しい十二角形であり、その面積を計算するための式を導き出すことができます。 不規則な十二角形には、さまざまな長さとさまざまな角度の側面があります。 六芒星はその一例です。 不規則な12面の図形の面積を計算する簡単な方法はありません。ただし、グラフにプロットして、各頂点の座標を読み取ることができない場合を除きます。 そうでない場合、最善の戦略は、面積を計算できる通常の形状に図を分割することです。
通常の12面ポリゴンの面積の計算
通常の十二角形の面積を計算するには、その中心を見つける必要があります。そのための最良の方法は、各頂点に接触するだけの円をその周りに描くことです。 円の中心は十二角形の中心であり、図の中心からその各頂点までの距離は、単に円の半径です（r). 図の12辺はそれぞれ同じ長さなので、次のように表します。s.
もう1つの測定値が必要です。これは、各辺の中点から12辺の形状の中心まで引いた垂線の長さです。 この線は辺心距離として知られています。 その長さをm. 半径線で形成される各セクションを2つの直角三角形に分割します。 わからないm、しかし、ピタゴラスの定理を使用してそれを見つけることができます。
12の半径線は、十二角形の周りに描いた円を12の等しいセクションに分割します。したがって、図の中央では、各線がその隣の線となす角度は30度です。 半径線によって形成される12のセクションのそれぞれは、hypotenuseを持つ直角三角形のペアで構成されていますrそして15度の1つの角度。 角度に隣接する側はm、rと角度の正弦を使用して見つけることができます。
\ sin（15）= \ frac {m} {r} \、\ text {そして} mを解く\\ m = r×\ sin（15）
底辺の長さがわかっているので、十二角形に内接する二等辺三角形のそれぞれの面積を見つけることができます。s–そして高さ、m. 各三角形の面積は
\ begin {aligned} \ text {area}＆= \ frac {1} {2}×\ text {base}×\ text {height} \\＆= \ frac {1} {2}×s×m \\ ＆= 1/2×（s×r×\ sin（15））\ end {aligned}
このようなセクションは12個あるので、12を掛けて、通常の12面形状の総面積を求めます。
\ text {通常の十二角形の面積} = 6×（s×r×\ sin（15））
不規則な十二角形の領域を見つける
辺の長さと角度が同じではないため、不規則な十二角形の面積を見つけるための公式はありません。 中心を正確に特定することさえ困難です。 最良の戦略は、図を規則的な形状に分割し、それぞれの面積を計算して、それらを追加することです。
形状がグラフにプロットされていて、頂点の座標がわかっている場合は、面積の計算に使用できる式があります。 各ポイントの場合（n）は（によって定義されますバツn, yn）、時計回りまたは反時計回りの順序で図を一周して、一連の12ポイントを取得すると、面積は次のようになります。
\ text {Area} = \ frac {| （x_1y_2 --y_1x_2）+（x_2y_3 --y_2x_3）+.. .. +（x_ {11} y_ {12} -y_ {11} x_ {12}）+（x_ {12} y_1-y_ {12} x_1）|} {2}
