日常生活では、ほとんどの人が用語を使用します速度そして速度互換性がありますが、物理学者にとっては、これらは2つの非常に異なるタイプの量の例です。
力学の問題はオブジェクトの動きを扱います。動きを速度で表すことはできますが、何かが進んでいる特定の方向が非常に重要になることがよくあります。
同様に、オブジェクトに適用される力は、さまざまな方向から発生する可能性があります。たとえば、綱引きでの反対の引っ張りについて考えてみてください。 このような状況を説明する物理学者は、力などの「サイズ」とその方向の両方を説明する量を使用する必要があります。 行為。 これらの量は呼ばれますベクトル.
TL; DR（長すぎる; 読んでいない）
ベクトルには大きさと特定の方向の両方がありますが、スカラー量には大きさしかありません。
ベクトル対。 スカラー
ベクトルとスカラーの主な違いは、ベクトルの大きさが完全に記述されていないことです。 明確な方向性も必要です。
ベクトルの方向は、その前の正または負の記号を介して、コンポーネントの形式で表現するかどうかにかかわらず、さまざまな方法で表すことができます（適切な横のスカラー値私, jそしてkのデカルト座標に対応する「単位ベクトル」バツ, yそしてz、それぞれ）、指定された方向に対して角度を追加します（たとえば、「バツ-axis」）、または単に方向を説明するためにいくつかの単語を追加します（例：「北西」）。
対照的に、スカラーは、追加の表記や情報が提供されていないベクトルの大きさです。たとえば、速度は速度ベクトルと同等のスカラーです。 数学的な観点からは、これはベクトルの絶対値です。
ただし、エネルギー、圧力、長さ、質量、電力、温度などの多くの量は、対応するベクトルの大きさだけではないスカラーの例です。 質量の「方向」を知る必要はありません。たとえば、質量の全体像を物性として把握する必要はありません。
スカラーの違いを知っているときに理解できる直感に反する事実がいくつかあります 何かが一定の速度を持つことができるが、絶えず変化するという考えなどのベクトル 速度。 時速10kmの一定速度で円を描いて運転している車を想像してみてください。 ベクトルの方向はその定義の一部であるため、車の速度ベクトルは常に この例では、ベクトルの大きさ（つまり、その速度）が 絶え間ない。
ベクトル量の例
物理学にはベクトルの例がたくさんありますが、最もよく知られている例のいくつかは力、運動量、加速度、速度であり、これらはすべて古典物理学で強く特徴づけられています。 速度ベクトルは、東に25 m / s、で-8 km / hとして表示できます。y-方向、v= 5 m / s私+ 10 m / sj、またはから50度の方向に10 m / sバツ-軸。
運動量ベクトルは、ベクトルの大きさと方向が物理学でどのように表示されるかを確認するために使用できるもう1つの例です。 これらは速度ベクトルの例と同じように機能し、西に50 kg m / s、z方向、p= 12 kg m / s私– 10 kg m / sj– 15 kg m / skと100kg m / sから30度バツ-軸は、それらを表示する方法の例です。 同じ基本的なポイントが加速度ベクトルの表示にも当てはまりますが、唯一の違いはm / sの単位です。2 そして、ベクトルに一般的に使用される記号、a.
力は、これらのベクトル式の例の最後の1つであり、多くの類似点がありますが、円筒座標を使用します（r, θ, z）デカルト座標の代わりに、他の表示方法を示すのに役立ちます。 たとえば、力を次のように書くことができますF= 10 Nr+ 35 N𝛉、半径方向と方位角方向に成分を持つ力の場合、または地球上の1kgの物体にかかる重力を–の10Nとして記述します。r方向（つまり、惑星の中心に向かって）。
ダイアグラムのベクトル表記
図では、ベクトルは矢印を使用して表示され、ベクトルの大きさは矢印の長さで表され、その方向は矢印が指す方向で表されます。 たとえば、大きな矢印は、力が別の力よりも大きい（つまり、ニュートンが多い、または大きさが大きい）ことを示します。
運動量や速度ベクトルなどの運動を示すベクトルの場合、ゼロベクトル（つまり、速度や運動量を表さないベクトル）は、単一のドットを使用して表示されます。
矢印の長さはベクトルの大きさを表し、矢印の方向はベクトルの方向を表すため、注目に値します。 ベクトル図を作成するときは、適度に正確になるようにすることをお勧めします。 完璧である必要はありませんが、ベクトルの場合aベクトルの2倍の大きさですb、矢印の長さは約2倍にする必要があります。
ベクトルの加算と減算
ベクトルの加算と減算は、スカラーの加算と減算よりも少し複雑ですが、概念を簡単に理解できます。 使用できる主なアプローチは2つあり、それぞれに取り組む特定の問題に応じて潜在的な用途があります。
1つ目は、コンポーネント形式で2つのベクトルが与えられた場合に最も簡単に使用できる方法で、通常のスカラーを追加するのと同じ方法で、一致するコンポーネントを追加するだけです。 たとえば、2つの力を追加する必要がある場合F1 = 5 N私+ 10 NjそしてF2 = 6 N私+ 15 Nj+ 10 Nk、追加します私コンポーネント、次にjコンポーネントそして最後にk次のようなコンポーネント：
\ begin {aligned} \ bm {F} _1 + \ bm {F} _2＆=（5 \; \ text {N} \; \ bold {i} + 10 \; \ text {N} \; \ bold { j}）+（6 \; \ text {N} \; \ bold {i} + 15 \; \ text {N} \; \ bold {j} + 10 \; \ text {N} \; \ bold { k}）\\＆=（5 \; \ text {N} + 6 \; \ text {N}）\ bold {i} +（10 \; \ text {N} + 15 \; \ text {N}）\ bold {j} +（0 \; \ text {N} + 10 \; \ text {N}）\ bold {k} \\＆= 11 \; \ text {N} \; \ bold {i} + 25 \; \ text {N} \; \ bold {j} + 10 \; \ text {N} \; \ bold {k} \ end {aligned}
ベクトル減算は、数量を加算するのではなく減算することを除いて、まったく同じように機能します。 ベクトル加算も、実数を使った通常の加算と同様に可換です。a + b = b + a.
ベクトル矢印を頭から尾まで配置してから、矢印図を使用してベクトル加算を実行することもできます。 最初の矢印の尾と頭を結ぶベクトルの合計に対して新しいベクトル矢印を描画します。 2番目。
に1つある単純なベクトル加算がある場合バツ-方向と別のy-方向、図は直角三角形を形成します。 三角法とピタゴラスの定理を使用して三角形を「解く」ことにより、ベクトルの追加を完了し、結果のベクトルの大きさと方向を決定できます。
内積と外積
ベクトルの乗算は、実数のスカラー乗算よりも少し複雑ですが、乗算の2つの主要な形式は、内積と外積です。 内積はスカラー積と呼ばれ、次のように定義されます。
\ bm {u} \;∙\; \ bm {v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3
または
\ bm {u} \;∙\; \ bm {v} = \ lvert \ bm {u} \ rvert \ lvert \ bm {v} \ rvert \ text {cos}（θ）
どこθは2つのベクトル間の角度であり、下付き文字1、2、および3は、ベクトルの1番目、2番目、および3番目の成分を表します。 内積の結果はスカラーです。
外積は次のように定義されます。
\ bm {a} \; \ bold {×} \; \ bm {b} =（a_2b_3 − a_3b_2、a_3b_1 − a_1b_3、a_1b_2 − a_2b_1）
結果のコンポーネントを異なる方向に区切るコンマを使用します。