運動学方程式は、一定の加速を受けているオブジェクトの動きを表します。 これらの方程式は、移動するオブジェクトの時間、位置、速度、および加速度の変数に関連しているため、他の変数がわかっている場合は、これらの変数のいずれかを解くことができます。
以下は、一次元で一定の加速運動をしている物体の描写です。 変数 t 時間のためです、位置はです バツ、 速度 v と加速 a. 下付き文字 私 そして f それぞれ「初期」と「最終」を表します。 これは、想定されます t = 0 at バツ私 そして v私.
（画像1を挿入）
キネマティック方程式リスト
1次元で作業する場合に適用される、以下にリストされている3つの主要な運動方程式があります。 これらの方程式は次のとおりです。
\＃\ text {1：} v_f = v_i + at \\ \＃\ text {2：} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 at ^ 2 \\ \＃\ text {3：}（v_f）^ 2 =（v_i）^ 2 + 2a（x_f-x_i）
キネマティック方程式に関する注記
- これらの方程式は、一定の加速度（一定の速度の場合はゼロになる可能性があります）でのみ機能します。
- 読んだソースによっては、最終的な数量に下付き文字がない場合があります f、および/または関数表記で次のように表される場合があります x（t） - 読んだ "バツ 時間の関数として」または「バツ 当時の t」–および v（t）. ご了承ください x（t） という意味ではない バツ を掛ける t!
-
時々量 バツf - バツ私 書かれた
Δx、「の変化 バツ、」または単に d、変位を意味します。 すべて同等です。 位置、速度、加速度はベクトル量であり、方向が関連付けられていることを意味します。 一次元では、方向は通常、符号で示されます。正の量は正の方向であり、負の量は負の方向です。 下付き文字：「0」は、初期位置と速度に代わりに使用される場合があります 私. この「0」は「で」を意味します t = 0、 "および バツ0 そして v0 通常、「x-naught」および「v-naught」と発音されます。 *方程式の1つだけが時間を含みません。 与えられたものを書き、使用する方程式を決定するとき、これが重要です！
特別な場合：自由落下
自由落下運動は、空気抵抗がない状態で重力のみによって加速する物体の運動です。 同じ運動方程式が適用されます。 ただし、地球の表面近くの加速度値は既知です。 この加速度の大きさは、多くの場合、次の式で表されます。
一次元の運動学問題のための問題解決戦略：
状況の図をスケッチし、適切な座標系を選択します。 （それを思い出します バツ, v そして a はすべてベクトル量であるため、明確な正の方向を割り当てることにより、符号を追跡しやすくなります。）
既知の量のリストを書きます。 （既知のものが明確でない場合があることに注意してください。 「休息から始まる」などのフレーズを探します。 v私 = 0、または「地面にぶつかる」、つまり バツf = 0など。）
質問で見つけてほしい数量を決定します。 あなたが解決しようとしている未知のものは何ですか？
適切な運動方程式を選択します。 これは、未知の量と既知の量を含む方程式になります。
未知の量の方程式を解き、既知の値をプラグインして最終的な答えを計算します。 （単位に注意してください！ 計算する前に単位を変換する必要がある場合があります。）
一次元運動学の例
例1： 広告は、スポーツカーが2.7秒で時速0マイルから時速60マイルまで行くことができると主張しています。 この車の加速度はm / sで何ですか2? この2.7秒間にどれくらい移動しますか？
解決：
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既知および未知の量：
v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2.7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {？} \\ x_f = \ text {？ }
質問の最初の部分では、未知の加速度を解く必要があります。 ここでは、式＃1を使用できます。
v_f = v_i + at \ implies a = \ frac {（v_f-v_i）} t
ただし、数値を入力する前に、60mphをm / sに変換する必要があります。
60 \ cancel {\ text {mph}} \ Bigg（\ frac {0.477 \ text {m / s}} {\ cancel {\ text {mph}}} \ Bigg）= 26.8 \ text {m / s}
したがって、加速は次のようになります。
a = \ frac {（26.8-0）} {2.7} = \ underline {\ bold {9.93} \ text {m / s} ^ 2}
その時間のどこまで進むかを見つけるために、式＃2を使用できます。
x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 at ^ 2 = \ frac 1 2 \ times 9.93 \ times 2.7 ^ 2 = \ underline {\ bold {36.2} \ text {m}}
例2： 1.5mの高さから15m / sの速度でボールを投げます。 それが地面に着くとき、それはどれくらい速く進んでいますか？ 地面に着くまでどのくらいかかりますか？
解決：
（画像3を挿入）
既知および未知の量：
x_i = 1.5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9.8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =？ \\ t =？
最初の部分を解くために、方程式＃3を使用できます。
（v_f）^ 2 =（v_i）^ 2 + 2a（x_f-x_i）\ implies v_f = \ pm \ sqrt {（v_i）^ 2 + 2a（x_f-x_i）}
すべてがすでに一貫した単位になっているので、値をプラグインできます。
v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2（-9.8）（0-1.5）} = \ pm \ sqrt {254.4} \ approx \ pm16 \ text {m / s}
ここには2つの解決策があります。 どちらが正しいですか？ この図から、最終速度は負になるはずであることがわかります。 したがって、答えは次のとおりです。
v_f = \ underline {\ bold {-16} \ text {m / s}}
時間について解くには、方程式＃1または方程式＃2のいずれかを使用できます。 式＃1は扱いが簡単なので、次の式を使用します。
v_f = v_i + at \ implies t = \ frac {（v_f-v_i）} {a} = \ frac {（-16-15）} {-9.8} \ upperx \ underline {\ bold {3.2} \ text {s }}
この質問の最初の部分に対する答えは0m / sではなかったことに注意してください。 ボールが着地した後、速度が0になるのは事実ですが、この質問では、衝突する前のその一瞬でボールがどれだけ速く進んでいるかを知りたいと考えています。 ボールが地面に接触すると、加速度が一定ではなくなるため、運動学的方程式は適用されなくなります。
投射物の動きの運動方程式（2次元）
発射体は、地球の重力の影響下で2次元で移動するオブジェクトです。 加速は重力によるものだけなので、その経路は放物線です。 投射物の動きの運動学的方程式は、上記の運動学的方程式とは少し異なる形式を取ります。 水平など、互いに垂直なモーションコンポーネントという事実を使用します バツ 方向と垂直 y 方向–独立しています。
投射物運動運動学問題のための問題解決戦略：
状況の図をスケッチします。 1次元のモーションと同様に、シナリオをスケッチして座標系を示すと便利です。 ラベルを使用する代わりに バツ, v そして a 位置、速度、加速度については、各次元のモーションに個別にラベルを付ける方法が必要です。
水平方向には、最も一般的に使用されます バツ 位置と vバツ 速度のx成分の場合（この方向の加速度は0であるため、変数は必要ありません）。 y 方向、それを使用するのが最も一般的です y 位置と vy 速度のy成分。 加速にはラベルを付けることができます ay または、重力による加速度が g 負のy方向に、代わりにそれを使用します。
問題を垂直運動と水平運動の2つのセクションに分割して、既知および未知の量のリストを作成します。 三角法を使用して、軸に沿っていないベクトル量のx成分とy成分を見つけます。 これを2つの列にリストすると役立つ場合があります。
（表1を挿入）
注：速度が角度とともに大きさとして指定されている場合、 Ѳ、水平より上で、ベクトル分解を使用し、 vバツ= vcos（Ѳ） そして vy= vsin（Ѳ）.
以前の3つの運動方程式を検討し、それぞれx方向とy方向に適合させることができます。
X方向：
x_f = x_i + v_xt
Y方向：
v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\（v_ {yf}）^ 2 =（v_ {yi}）^ 2- 2g（y_f-y_i）
の加速に注意してください y upが正であると仮定すると、方向は-gです。 よくある誤解は、g = -9.8 m / sです。2、しかしこれは正しくありません。 g それ自体は単に加速度の大きさです：g = 9.8 m / s2、したがって、加速度が負であることを指定する必要があります。
それらの次元の1つで未知のものを解き、次に両方向に共通するものをプラグインします。 2次元の動きは独立していますが、同じ時間スケールで発生するため、時間変数は両方の次元で同じです。 （ボールが垂直方向に動くのにかかる時間は、ボールが水平方向に動くのにかかる時間と同じです。）
投射物の運動学の例
例1： 発射体は、高さ20 mの崖から、初速度50 m / sで水平に発射されます。 地面に着くまでどのくらいかかりますか？ 崖のふもとからどれくらい離れていますか？
（画像4を挿入）
既知および未知の量：
（表2を挿入）
2番目の垂直運動方程式を使用して、地面に着くまでにかかる時間を見つけることができます。
y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ implies t = \ sqrt {\ frac {（2 \ times 20）} g} = \ underline {\ bold {2.02} \ text {s} }
それからそれがどこに着陸するかを見つけるために、 バツf、水平運動方程式を使用できます。
x_f = x_i + v_xt = 50 \ times2.02 = \ underline {\ bold {101} \ text {s}}
例2： ボールは、水平に対して30度の角度で地面から100 m / sで発射されます。 どこに着陸しますか？ その速度はいつ最小ですか？ 現時点での場所はどこですか？
（画像5を挿入）
既知および未知の量：
まず、速度ベクトルをコンポーネントに分割する必要があります。
v_x = v_i \ cos（\ theta）= 100 \ cos（30）\ approx 86.6 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin（\ theta）= 100 \ sin（30）= 50 \ テキスト{m / s}
数量の表は次のとおりです。
（表3を挿入）
まず、ボールが飛んでいる時間を見つける必要があります。 これは、2番目の垂直方程式で行うことができます_。 放物線の対称性を使用して、最終的な_yを決定することに注意してください。 速度はイニシャルの負の数です。
次に、それがどこまで移動するかを決定します バツ 今回の方向性：
x_f = x_i + v_xt = 86.6 \ times 10.2 \ upperx \ underline {\ bold {883} \ text m}
放物線軌道の対称性を使用して、速度がで最小であると判断できます。 5.1秒、発射体がその動きのピークにあり、速度の垂直成分が0の場合。 この時点でのモーションのxコンポーネントとyコンポーネントは次のとおりです。
x_f = x_i + v_xt = 86.6 \ times 5.1 \ append \ underline {\ bold {442} \ text m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ times5.1- \ frac 1 2 9.8 \ times 5.1 ^ 2 \ upperx \ underline {\ bold {128} \ text {m}}
運動学的方程式の導出
式＃1： 加速度が一定の場合、次のようになります。
a = \ frac {（v_f-v_i）} {t}
速度を解くと、次のようになります。
v_f = v_i + at
式＃2： 平均速度は2つの方法で書くことができます：
v_ {avg} = \ frac {（x_f-x_i）} {t} = \ frac {（v_f + v_i）} {2}
_vを置き換えるとf _式＃1の式を使用すると、次のようになります。
\ frac {（x_f-x_i）} {t} = \ frac {（（v_i + at）+ v_i）} {2}
解決する バツf 与える：
x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 at ^ 2
方程式＃3：を解くことから始めます t 式＃1で
v_f = v_i + at \ implies t = \ frac {（v_f-v_i）} {a}
この式をに接続します t 平均速度の関係で：
v_ {avg} = \ frac {（x_f-x_i）} {t} = \ frac {（v_f + v_i）} {2} \ implies \ frac {（x_f-x_i）} {（\ frac {（v_f-v_i ）} {a}）} = \ frac {（v_f + v_i）} {2}
この式を並べ替えると、次のようになります。
（v_f）^ 2 =（v_i）^ 2 + 2a（x_f-x_i）