陰的微分は、y = f（x）の形式で関数の導関数を決定するために使用される手法です。
陰微分の使用方法を学ぶために、簡単な例でこの方法を使用してから、いくつかのより複雑なケースを調べることができます。
暗黙の微分は単なる微分です
より複雑に聞こえますが、暗黙の微分は、基本的な微分と同じ数学とスキルをすべて使用します。 ただし、注意すべき重要な点は、従属変数が関数自体に表示されるようになったことです。
xy = 1などの簡単な方程式を取ります。 の導関数を見つけるには2つの方法があります y に関して バツ、またはdy / dx。 まず、簡単に解くことができます y 方程式で、導関数のべき乗則を使用します。 これを行うと、y = 1 / xになります。 したがって、べき乗則を適用すると、dy / dx = -1 / xであることがわかります。2.
暗黙の微分を使用してこの問題を実行することもできます。 幸いなことに、私たちはすでに答えを知っているので（計算方法に関係なく同じであるはずです）、作業を確認できます！
まず、方程式xy = 1の両辺に導関数を適用します。 次に、d / dx（xy）= d / dx（1）; 明らかに右側は0に等しくなりましたが、左側には連鎖律が必要です。 これは、関数の導関数を使用しているためです。 y、それが別の因数に乗算されている間 バツ. これを計算するには：d / dx（x）y + x（d / dx（y））= y + xy '。 プライム表記を使用して、に関する導関数を示します。 バツ.
方程式を書き直すと、y + xy '= 0になります。 解決する時が来ました y ' 私たちの方程式で！ 明らかに、y '= -y / xです。 しかし、元の情報を使用すると、y = 1 / xであることがわかっているので、これをで置き換えることができます。 これを行うと、y '= -1 / xであることがわかります。2、以前に見つけたように。
sin（xy）の導関数を決定するための陰的微分
y = sin（xy）の導関数を決定するために、（d / dx）y = y 'であることを覚えて、陰微分を使用します。
まず、方程式の両辺に導関数を適用します：d / dx（y）= d / dx（sin（xy））。 方程式の左辺は明らかに y '、これを解決する必要がありますが、右側にはいくつかの作業が必要です。 具体的には、連鎖律と積の法則です。 まず、連鎖律をsin（xy）に適用する必要があり、次に引数の積の法則を適用する必要があります。
xy. 幸い、この積の法則はすでに計算されています。次に、これを単純化すると、y '= cos（xy）（y + xy'）が得られます。
明らかに、この方程式は次のように解く必要があります。 y ' どのように決定するために y ' に関係している バツ そして y.
ですべての用語を分離する y ' 片側：y'-xy'cos（xy）= ycos（xy）。
次に、 y ' 取得するには：y '（1-xcos（xy））= ycos（xy）。
これで、y '= ycos（xy）/（1-xcos（xy））であることがわかります。
さらに単純化する必要がありますが、関数は再帰的に定義されているため、y = sin（xy）をプラグインしても満足のいく解が得られない可能性があります。 この場合、これらの方程式をプロットするためのより多くの情報またはより洗練された方法が役立つ場合があります。
陰的微分の一般的な手順
まず、暗黙の微分は、変数の1つが他の変数の関数であることに依存していることを思い出してください。 一般に、関数はy = f（x）と見なされますが、関数x = f（y）と書くこともできます。 これらの問題に取り組むときは、どの変数が他の変数に依存しているかを判断するように注意してください。
次に、微分法則を注意深く適用することを忘れないでください。 暗黙の微分には、積の法則と商の法則だけでなく、連鎖律が非常に頻繁に必要になります。 これらの方法を正しく適用することは、最終的な答えを決定するために不可欠です。
最後に、目的の導関数を分離し、式を可能な限り単純化して解きます。