ユークリッド距離は、ユークリッド空間の2点間の距離です。 ユークリッド空間は、もともとギリシャの数学者ユークリッドによって西暦前300年頃に考案されました。 角度と距離の関係を研究します。 この幾何学のシステムは今日でも使用されており、高校生が最も頻繁に勉強するものです。 ユークリッド幾何学は、特に2次元と3次元の空間に適用されます。 ただし、高次の次元に簡単に一般化できます。
1次元のユークリッド距離を計算します。 1次元の2点間の距離は、単にそれらの座標間の差の絶対値です。 数学的には、これは| p1-q1 |として示されます。 ここで、p1は最初の点の最初の座標であり、q1は2番目の点の最初の座標です。 距離は通常、負でない値しかないと見なされるため、この差の絶対値を使用します。
2次元ユークリッド空間で2点PとQを取ります。 Pを座標（p1、p2）で記述し、Qを座標（q1、q2）で記述します。 次に、PとQの端点を持つ線分を作成します。 この線分は直角三角形の斜辺を形成します。 手順1で得られた結果を拡張すると、この三角形の脚の長さは| p1-q1 |で与えられることに注意してください。 および| p2-q2 |。 次に、2点間の距離が斜辺の長さとして与えられます。
ピタゴラスの定理を使用して、ステップ2で斜辺の長さを決定します。 この定理は、c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2であると述べています。ここで、cは直角三角形の斜辺の長さであり、a、bは他の2本の脚の長さです。 これにより、c =（a ^ 2 + b ^ 2）^（1/2）=（（p1-q1）^ 2 +（p2-q2）^ 2）^（1/2）が得られます。 したがって、2次元空間における2点P =（p1、p2）とQ =（q1、q2）の間の距離は（（p1-q1）^ 2 +（p2-q2）^ 2）^（1/2）です。
手順3の結果を3次元空間に拡張します。 点P =（p1、p2、p3）とQ =（q1、q2、q3）の間の距離は、（（p1-q1）^ 2 +（p2-q2）^ 2 +（p3-q3）として与えられます。 ^ 2）^（1/2）。
n次元の2点P =（p1、p2、。。。、pn）とQ =（q1、q2、。。。、qn）の間の距離について、ステップ4の解を一般化します。 この一般的な解は、（（p1-q1）^ 2 +（p2-q2）^ 2 +.. .. +（pn-qn）^ 2）^（1/2）。