לפני שנדון במרכז הכובד, נניח כמה פרמטרים. האחת, שאתה מתמודד עם אובייקט שנמצא על פני כדור הארץ, לא בחלל איפשהו. ושניים, שהאובייקט קטן למדי - נניח, לא חללית שחונה על כדור הארץ ומחכה להמריא. ברגע שכל ההשפעות החיצוניות האלה מסולקות, אתה במצב טוב לחשב את מרכז הכובד עבור עצמים גיאומטריים באמצעות נוסחה פשוטה יחסית - ולמעשה, בגלל התנאים שנקבעו זה עתה, תשתמש באותה הנוסחה כדי למצוא את מרכז הכובד כמו למצוא את מרכז המסה.
איך לכתוב על מרכז הכובד
מרכז הכובד במישור דו מימדי מסומן בדרך כלל על ידי הקואורדינטות (xcg, ycg) או לפעמים לפי המשתניםאיקסוyעם מוט מעליהם. כמו כן, המונח "מרכז כובד" מקוצר לעיתים ל- cg.
כיצד לחשב CG של משולש
בספר הלימוד שלך במתמטיקה או בפיזיקה לרוב יהיו תרשימים לקביעת מרכז האיזון של דמויות מסוימות. אך עבור כמה צורות גיאומטריות נפוצות, ניתן להשתמש בנוסחת מרכז הכובד המתאים כדי למצוא את מרכז הכובד של הצורה.
עבור משולשים, מרכז הכובד יושב בנקודה בה כל שלושת החציונים מצטלבים. אם אתה מתחיל בקודקוד אחד של המשולש ואז מצייר קו ישר לנקודת האמצע של הצד השני, זה חציון אחד. בצע את אותו הדבר בשני הקודקודים האחרים, והנקודה בה כל שלושת החציונים מצטלבים היא מרכז הכובד של המשולש.
וכמובן, יש נוסחה לכך. אם הקואורדינטות של מרכז הכובד של המשולש הן (xcg, ycg), אתה מוצא את הקואורדינטות שלה כך:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3} {3} \\\ טקסט {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3} {3}
איפה (x1, y1), (איקס2, y2) ו- (x3, y3) הם הקואורדינטות של שלושת קודקודי המשולש. אתה יכול לבחור לאיזה קודקוד יוקצה איזה מספר.
נוסחת מרכז הכובד למלבן
האם שמת לב שכדי למצוא את מרכז הכובד למשולש, אתה ממוצע של ערך הקואורדינטות x, ואז ממוצע הערך של הקואורדינטות y, והשתמש בשתי התוצאות כקואורדינטות עבור מרכז הכובד שלך?
כדי למצוא את מרכז הכובד של מלבן, אתה עושה בדיוק את אותו הדבר. אך כדי להקל על החישובים שלך, הנח כי המלבן מכוון ישר לקרטזיה מישור קואורדינטות (כך שהוא לא מוגדר בזווית), וכי קודקודו השמאלי התחתון נמצא במקור ה- גרָף. במקרה כזה, למצוא (xcg, ycg) עבור מלבן, כל שעליך לחשב הוא:
x_ {cg} = \ frac {\ text {width}} {2} \\\ טקסט {} \\ y_ {cg} = \ frac {\ text {גובה}} {2}
אם אינך רוצה להעביר את המלבן שלך למקור מישור הקואורדינטות או אם מסיבה כלשהי הוא לא בדיוק מרובע ל צירי קואורדינטות, אתה יכול להתמודד עם הנוסחה המעט מפחידה למראה, אך עדיין יעילה, לממוצע של כל קואורדינטות ה- x שלה כדי למצוא את הערך של xcg, וממוצע כל הקואורדינטות y כדי למצוא את הערך של ycg:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3 + x_4} {4} \\\ טקסט {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3 + y_4} {4}
מרכז משוואת הכבידה
מה אם אתה צריך לחשב את מרכז הכובד עבור צורה שמתאימה לכל ההנחות שהוזכרו לראשונה (בעצם אתה לא מנסה לעשות מדע רקטות מילולי על ידי מציאת מרכז הכובד של עצמים בחלל), אך הוא לא נופל באף אחת מהקטגוריות שהוזכרו זה עתה או בתרשימים בחלק האחורי של ספר לימוד? אז אתה יכול לחלק את הצורה שלך לצורות מוכרות יותר ולהשתמש במשוואות הבאות כדי למצוא את מרכז הכובד הקולקטיבי שלהן:
x_ {cg} = \ frac {a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n} {a_1 + a_2 +... + a_n} \\\ טקסט {} \\ y_ {cg} = \ frac {a_1y_1 + a_2y_2 +... + a_ny_n} {a_1 + a_2 +... + a_n}
או במילים אחרות, xcg שווה לאזור הסעיף פי 1 מהמיקום שלו על ציר ה- x, נוסף לאזור הסעיף פי 2 ממיקומו, וכן הלאה עד שהוספת את מיקום זמני השטח של כל החלקים; ואז חלק את הסכום השלם בסך כל החלקים. ואז עשה את אותו הדבר עבור y.
ש: כיצד אוכל למצוא את השטח של כל קטע?חלוקת הצורה המורכבת או הלא סדירה שלך לצולעים מוכרים יותר מאפשרת לך להשתמש בנוסחאות סטנדרטיות כדי למצוא אזור. לדוגמה, אם חילקת צורה זו לחתיכות מלבניות, תוכל להשתמש באורך הנוסחה × רוחב כדי למצוא את השטח של כל חלק.
ש: מה ה"מיקום "של כל קטע?המיקום של כל קטע הוא התאם המתאים ממרכז הכובד של אותו קטע. אז אם אתה רוצה אותך2 (המיקום של קטע 2), אתה צריך לספק את קואורדינטת ה- y למרכז הכובד של אותו קטע. שוב, זו הסיבה שאתה מחלק אובייקט בצורת מוזר לצורות מוכרות יותר מכיוון שאתה יכול להשתמש ב- נוסחאות שכבר דנו כדי למצוא את מרכז הכובד של כל צורה ואז לחלץ את הקואורדינטות המתאימות (ים).
ש: איפה הצורה שלי עוברת במישור הקואורדינטות?אתה יכול לבחור היכן הצורה שלך יושבת במישור הקואורדינטות - רק זכור שמרכז הכובד של התשובה שלך יהיה ביחס לאותה נקודת התייחסות. הכי קל למקם את האובייקט ברבע הראשון של הגרף שלך, עם הקצה התחתון שלו כנגד ציר ה- X והקצה השמאלי כנגד ציר ה- y כך שכל ערכי ה- X וה- Y הם חיוביים, אך גם קטנים מספיק כדי להיות לניהול.
טריקים למציאת מרכז הכובד
אם אתה מתמודד עם אובייקט יחיד, אינטואיציה ומעט הגיון הם לפעמים כל מה שאתה צריך כדי למצוא את מרכז הכובד שלו. לדוגמה, אם אתה שוקל דיסק שטוח, מרכז הכובד יהיה מרכז הדיסק. בגליל, זהו נקודת האמצע על ציר הגליל. עבור מלבן (או ריבוע), זו הנקודה שבה הקווים האלכסוניים מתכנסים.
יתכן ושמתם לב לתבנית כאן: אם לאובייקט המדובר יש קו סימטריה, מרכז הכובד יהיה על הקו הזה. ואם יש לו צירי סימטריה מרובים, מרכז הכובד יהיה במקום בו צירים אלה מצטלבים.
לבסוף, אם אתה מנסה למצוא את מרכז הכובד לאובייקט מורכב באמת, יש לך שתי אפשרויות: או שתמציא את אינטגרלי החשבון הטובים ביותר שלך (ראה משאבים לאינטגרל משולש המייצג את מרכז הכובד למסה לא אחידה) או להזין את הנתונים שלך למרכז כובד ייעודי מַחשְׁבוֹן. (ראה משאבים לדוגמא של מחשבון מרכז כובד למטוסים בשליטת רדיו).